数据结构 -- 时间复杂度、空间复杂度

一些概念

数据结构

数据结构（Data Structure）是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

算法

算法（Algorithm）就是定义良好的计算过程，取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说，算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

算法效率

算法效率分析分为两种：时间效率和空间效率。

时间效率

时间效率被称为时间复杂度。
时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度。

空间效率

空间效率被称作空间复杂度。
空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，在计算机发展早期，计算机的存储容量很小，所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度，所以如今不用再特别关注一个算法的空间复杂度。

时间复杂度

时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间从理论上来说是不能算出来的，只有把程序跑起来才能知道。若是每个算法都上机测试很麻烦，所以才有了时间复杂度的分析方式。
一个算法所花费的始建于其中语句的执行次数成正比，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

大O的渐进表示法

实际中计算时间复杂度时，并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，使用大O的渐进表示法。

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1. 用常数1取代云翔事件中的所有加法常数
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶

举个例子：

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

Func1执行的基本操作次数：

F(N) = N^2 + 2*N + 10

使用大O的渐进法表示，Func1的时间复杂度为：

O(N^2)

通过该例子说明大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不太大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外，有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

• 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）
• 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
• 最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况。

常见时间复杂度计算举例

例1：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

执行次数 ：F(N) = 2*N + 10
时间复杂度：O(N)

例2：

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

执行次数 ：F(N) = M + N
时间复杂度：O(N+M)

例3：

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

执行次数 ：F(N) = 100
时间复杂度：O(1)

例4：

// 计算strchr的时间复杂度？
const char* strchr(const char* str, int character);

最坏情况：执行了N次
时间复杂度：O(N)

例5：

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

最坏情况：F(N) = (N-1) + (N-2)+…+1 = 0.5* N^2
时间复杂度：O(N^2)

例6：

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	while (begin < end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

最坏情况：F(N) = log2(N)
时间复杂度：O(log2(N))

例7：

// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
	return N < 2 ? N : Factorial(N - 1) * N;
}

执行次数：F(N) = N
时间复杂度：O(N)

例8：

// 计算斐波那契递归Fibonacci的时间复杂度？
long long Fibonacci(size_t N)
{
	return N < 2 ? N : Fibonacci(N - 1) + Fibonacci(N - 2);
}

执行次数：F(N) = 1+2+4+…+2^(N-1) = 2^N
时间复杂度：O(2^N)

空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。
空间复杂度不是程序占用多说bytes的空间，而计算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

空间复杂度举例计算

例1：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

变量个数：5
空间复杂度：O(1)

例2：

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;
	long long* fibArray =
		(long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}

动态开辟了N个空间
空间复杂度：O(N)

例3：

// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
	return N < 2 ? N : Factorial(N - 1) * N;
}

递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间
空间复杂度为：O(N)

总结

• 时间不能复用
• 空间可以复用，所以求空间复杂度时计算的是最大需要消耗的空间