【Java---数据结构】时间复杂度与空间复杂度

目录

一、算法效率

二、时间复杂度

时间复杂度的概念

大O的渐进表示法

推导大O阶的方法

计算时间复杂度练习

三、空间复杂度

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一、算法效率

算法效率分析分为两种：

• 第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。
• 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度。
• ✨空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间。
• 在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

二、时间复杂度

时间复杂度的概念

• 时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。
• 但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

大O的渐进表示法

分析下面这段代码的时间复杂度（时间复杂度就是代码的执行次数）：

void func1(int N){
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < N ; i++) {
            for (int j = 0; j < N ; j++) {
                count++;
            }
        }
        for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
            count++;
        }
        int M = 10;
        while ((M--) > 0) {
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }

• 两层for循环（i , j）的执行次数：外层循环 i = 0 时，内存循环执行N次，外层循环总共要执行N此，所以两层for循环（i , j）的执行次数是：N*N = N^2。
• for循环（k）是从 0 ~ (2*N)-1，所以 for循环（k）的执行次数是：2*N。
• while循环是从10递减到1，所以while循环的执行次数是：10。
• 只是用N这个字母表示变量，并没有要求写代码时将其定义为N。

Func1 执行的基本执行次数：F(N) = N^2 + 2*N + 10

• N = 10    ： F(N) = 130
• N = 100  ： F(N) = 10210
• N = 1000： F(N) = 1002010

⭐实际中计算时间复杂度时，其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数。

✨使用大O的渐进表示法：大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶的方法

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。(例如func1的执行次数中的10，可以直接写成1)。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。(例如func1的执行次数中的最高阶项是：N^2)。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。(例如最高阶项是3N^2，就去掉常数3，最后得到的就是打O阶)。

使用大O的渐进表示法以后，func1的时间复杂度为：O(N^2)。

• N = 10    ： F(N) = 100
• N = 100  ： F(N) = 10000
• N = 1000： F(N) = 1000000

通过上面发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

• 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
• 平均情况：任意输入规模的期望运行次数（根据代码的情况给出平均时间复杂度）
• 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

• 最好情况：1次找到
• 最坏情况：N次找到
• 平均情况：N/2次找到

✨在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)。

通常所计算的时间复杂度都是最坏情况下的执行次数。

计算时间复杂度练习

计算fun2的时间复杂度

 void func2(int N) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
            count++;
        }
        int M = 10;
        while ((M--) > 0) {
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }

• for循环（k）的执行次数是：2*N
• while循环的执行次数是：10
• fun2 执行的基本执行次数：F(N) = 2*N+10
• 常数10 用1取代，只保留最高阶项：2*N，去除最高阶项的常数：2。使用大O的渐进表示法以后，func2的时间复杂度为：O(N)。

计算fun3的时间复杂度

    void func3(int N, int M) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < M; k++) {
            count++;
        }
        for (int k = 0; k < N ; k++) {
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }

• 第一个 for 循环（k）的执行次数是：M
• 第二个 for 循环（k）的执行次数是：N
• fun3 执行的基本执行次数：F(N) = M+N
• 因为不清楚 M 和 N 的值是多少，所以使用大O的渐进表示法以后，func3的时间复杂度为：O(M+N)。

计算fun4的时间复杂度

    void func4(int N) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < 100; k++) {
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }

• for 循环（k）的执行次数是：100
• 常数用1表示，所以使用大O的渐进表示法以后，func4的时间复杂度为：O(1)。

计算 bubbleSort 的时间复杂度

    void bubbleSort(int[] array) {
        for (int end = array.length; end > 0; end--) {
            boolean sorted = true;
            for (int i = 1; i < end; i++) {
                if (array[i - 1] > array[i]) {
                    Swap(array, i - 1, i);
                    sorted = false;
                }
            }
            if (sorted == true) {
                break;
            }
        }
    }

• 虽然这个冒泡排序算法被优化了，但是计算时间复杂度还是计算最坏情况下的。
• 两层for 循环（end，i）的执行次数是：N * (N-1) = N*N - N。
• 使用大O的渐进表示法以后，bubbleSort 的时间复杂度为：O(N^2)。

计算 binarySearch 的时间复杂度

    int binarySearch(int[] array, int value) {
        int begin = 0;
        int end = array.length - 1;
        while (begin <= end) {
            int mid = begin + ((end-begin) / 2);
            if (array[mid] < value)
                begin = mid + 1;
            else if (array[mid] > value)
                end = mid - 1;
            else
                return mid;
        }
        return -1;
    }

计算二分查找的时间复杂度

• ，去掉常数1
• 使用大O的渐进表示法以后，binarySearch 的时间复杂度为：O()。

计算阶乘递归 factorial 的时间复杂度

    long factorial(int N) {
        return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
    }

递归的时间复杂度 = 递归的次数 * 每次递归执行的次数。

• factorial函数每次递归执行都是一个三目运算符，所以执行次数是1，递归的次数是N（例如计算5的阶乘N = 5，factorial 函数递归的结束条件是N<2 ->N = 1，5,4,3,2,1总共5次）。
• 使用大O的渐进表示法以后，阶乘递归 factorial 的时间复杂度为：O(N)。

计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度

    int fibonacci(int N) {
        return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
    }

 递归的时间复杂度 = 递归的次数 * 每次递归执行的次数。

• fibonacci 每次递归执行都是一个三目运算符，所以执行次数是1。
• 通过计算，fibonacci 执行的次数是 2^n-1，去掉常数1.
• 使用大O的渐进表示法以后，fibonacci 的时间复杂度为：O(2^N)。

三、空间复杂度

• 空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
• 空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
• 空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

计算 bubbleSort 的空间复杂度

    void bubbleSort(int[] array) {
        for (int end = array.length; end > 0; end--) {
            boolean sorted = true;
            for (int i = 1; i < end; i++) {
                if (array[i - 1] > array[i]) {
                    Swap(array, i - 1, i);
                    sorted = false;
                }
            }
            if (sorted == true) {
                break;
            }
        }
    }

• 完成冒泡排序的过程中并没有随着问题的规模增加，而变量的个数也增加，即没有开辟额外的空间，所以空间复杂度为：O(1)。

计算fibonacci的空间复杂度

    int[] fibonacci(int n) {
        long[] fibArray = new long[n + 1];
        fibArray[0] = 0;
        fibArray[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n ; i++) {
            fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
        }
        return fibArray;
    }

• 动态开辟了（N+1）个空间大小的数组，随着问题规模的增大数组也要随之增大，所以空间复杂度为N+1，去掉常数1.
• 使用大O的渐进表示法以后，fibonacci 的空间复杂度为：O(N)。

计算阶乘递归 factorial 的空间复杂度

    long factorial(int N) {
        return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
    }

• 递归调用是在栈上开辟空间，没递归一次就要开辟一次空间，递归了N次所以在栈上开辟了N次空间。
• 使用大O的渐进表示法以后，factorial 的空间复杂度为：O(N)。