随机变量
随机变量的定义域是基本事件的全体，本质是一种函数(映射关系)。
"取值随机会而定" "是实验结果的函数"
随机事件 → 静态(常量)
随机变量 → 动态(变量)
离散型
常见的离散型随机变量：两点分布、二项分布、泊松分布
（分布律）设 为离散型随机变量，
| ... | ... | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| ... | ... |
&
伯努利分布（Bernoulli Distribution）
也叫做两点分布、零一分布，即事件的结果只有两个值，且事件之间相互独立，适合于实验结果只有两种可能的单词试验，例如抛硬币，质检等。
记做 ，或，读作服从参数为P的伯努利分布
设抛一枚不均匀的硬币，其正面朝上的概率为0.6，其概率分布图：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
def bernoulli(p = 0.0):
ber_dist = stats.bernoulli(p)
x = [0,1]
pmf = [ber_dist.pmf(x[0]),ber_dist.pmf(x[1])]
x_name = ['0','1']
plt.xticks(x,x_name)
plt.ylabel('Probability')
plt.title('PMF of bernoulli distribution')
plt.bar(x,pmf)
plt.show()
bernoulli(p=0.4)
二项分布 （Binomial Distribution）
重复n次的伯努利试验，在每次实验中只有两种可能的结果，且事件之间相互独立。
记做 ，或，读作服从参数为n和p的二项分布
- ，
设抛一枚不均匀的硬币20次，其中正面朝上的概率为0.6，其概率分布图：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
def binom(n,p):
binom_dis = stats.binom(n,p)
x = np.arange(binom_dis.ppf(0.01),binom_dis.ppf(0.99))
print(x)
fig,ax = plt.subplots(1,1)
ax.plot(x, binom_dis.pmf(x), 'bo',ms=5, label='binom pmf')
ax.vlines(x, 0, binom_dis.pmf(x), colors='b',lw=5, alpha=0.5)
ax.legend(loc='best', frameon=False)
plt.ylabel('Probability')
plt.title('PMF of binomial distribution(n={}, p={})'.format(n, p))
plt.show()
binom(20,0.6)
泊松分布（Poisson Distribution）
描述单位时间内随机事件发生的次数，满足一下条件：
- 在任意两个相等长度的区间上，事件发生的概率相等
- 事件在某一区间上是否发生与事件在其他区间上是否发生所独立
记做，或，读作服从参数为的泊松分布
- ，
设某路口发生事故的比率是每天2次，那么此处一天内发生k次事故的概率是多少？
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
def poisson(mu):
poisson_dis=stats.poisson(mu)
x = np.arange(poisson_dis.ppf(0.001),poisson_dis.ppf(0.999))
fig,ax = plt.subplots(1,1)
ax.plot(x,poisson_dis.pmf(x),'bo',ms=5,label='poisson pmf')
ax.vlines(x,0,poisson_dis.pmf(x),colors='b',lw=5,alpha=0.5)
ax.legend(loc='best', frameon=False)
plt.ylabel('Probability')
plt.title('PMF of poisson distribution(mu={})'.format(mu))
plt.show()
poisson(mu=2)
连续型
常见的连续型随机变量：均匀分布、指数分布、正态分布
非离散型是一个范围，设随机变量的分布函数为，如果存在非负函数，使，则称为连续型随机变量，称为的概率密度函数。
性质：
- 对于 ，
- 若在点是连续的，则
- 改变在个别点出的函数值不影响
- 对于，
提到概率分布时，离散型→分布律，连续型→概率密度
均匀分布 (Uniform Distribution)
连续型随机变量具有如下的概率密度函数，则称服从[a,b]上的均匀分布
记做
- ,
指数分布 (Exponential Distribution)
相比于泊松分布表示单位时间内随机事件的平均发生次数，指数分布可用来表示独立事件发生的时间间隔。
记做
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
def exponential(loc, scale):
exp_dis = stats.expon(loc,scale)
x = np.linspace(exp_dis.ppf(0.0001), exp_dis.ppf(0.9999), 100)
pdf = exp_dis.pdf(x)
cdf = exp_dis.cdf(x)
plt.figure(1)
plt.subplot(211)
plt.plot(x, pdf, 'b-', label='pdf')
plt.ylabel('Probability')
plt.title(r'PDF/CDF of exponential distribution')
plt.legend(loc='best', frameon=False)
plt.subplot(212)
plt.plot(x, cdf, 'r-', label='cdf')
plt.ylabel('Probability')
plt.legend(loc='best', frameon=False)
plt.show()
exponential(loc=0, scale=2)
正态分布 (Normal Distribution)
最重要的来啦，之前提到的中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布会趋于正态分布。
记做
如果公式中的 ，就叫做标准正态分布！
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
def normal_dis(mu=0, sigma=1):
norm_dis = stats.norm(mu, sigma)
# 在区间[-15, 15]上均匀的取100个点
x = np.linspace(-15, 15, 100)
# 计算该分布在x中个点的概率密度分布函数值(PDF)
pdf = norm_dis.pdf(x)
# 计算该分布在x中个点的累计分布函数值(CDF)
cdf = norm_dis.cdf(x)
plt.figure(1)
plt.subplot(211)
plt.plot(x, pdf, 'b-', label='pdf')
plt.ylabel('Probability')
plt.title(r'PDF/CDF of normal distribution')
plt.text(-5.0, .12, r'$\mu={},\ \sigma={}$'.format(mu, sigma))
plt.legend(loc='best', frameon=False)
plt.subplot(212)
plt.plot(x, cdf, 'r-', label='cdf')
plt.ylabel('Probability')
plt.legend(loc='best', frameon=False)
plt.show()
normal_dis(mu=5, sigma=3)
随机变量及其分布的知识点简单复习到这里~
参考来源：
网易云课堂《概率论与数理统计》
https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/stats.html
https://www.cnblogs.com/Belter/p/7545343.html