代码随想录算法学习心得 47 | 392.判断子序列、115.不同的子序列...
一、判断子序列
链接：力扣
描述：给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。
字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。
思路如下：
动态规划五部曲分析如下：
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。
注意这里是判断s是否为t的子序列。即t的长度是大于等于s的。
2、确定递推公式
在确定递推公式的时候，首先要考虑如下两种操作，整理如下：
- if (s[i - 1] == t[j - 1])
- t中找到了一个字符在s中也出现了
- if (s[i - 1] != t[j - 1])
- 相当于t要删除元素，继续匹配
if (s[i - 1] == t[j - 1])，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;因为找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1。
if (s[i - 1] != t[j - 1])，此时相当于t要删除元素，t如果把当前元素t[j - 1]删除，那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了，即：dp[i][j] = dp[i][j - 1];
3、dp数组如何初始化
从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，所以dp[0][0]和dp[i][0]是一定要初始化的。在定义dp[i][j]含义的时候为什么要表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。
因为这样的定义在dp二维矩阵中可以留出初始化的区间，如图：
如果要是定义的dp[i][j]是以下标i为结尾的字符串s和以下标j为结尾的字符串t，初始化就比较麻烦了。
dp[i][0] 表示以下标i-1为结尾的字符串，与空字符串的相同子序列长度，所以为0. dp[0][j]同理。
vector> dp(s.size() + 1, vector(t.size() + 1, 0));
4、确定遍历顺序
同理从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，那么遍历顺序也应该是从上到下，从左到右
如图所示：
5、举例推导dp数组
输入：s = "abc", t = "ahbgdc"，dp状态转移图如下：
代码如下：
#include
#include
using namespace std;
class Solution {
public:
bool isSubsequence(string s, string t)
{
vector>dp(s.size() + 1, vector(t.size() + 1));
for (int i = 1; i <= s.size(); i++)
{
for (int j = 1; j <= t.size(); j++)
{
if (s[i - 1] == t[j - 1])
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
else
{
dp[i][j] = dp[i][j-1];
}
}
}
if (dp[s.size()][t.size()] == s.size())
{
return true;
}
return false;
}
};
int main()
{
Solution s;
s.isSubsequence("abc", "ahbgdc");
return 0;
} 运行如下：
二、不同的子序列
链接：力扣
描述：给你两个字符串 s 和 t ，统计并返回在 s 的 子序列 中 t 出现的个数。
题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。
思路如下：
动态规划五部曲分析如下：
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。
2、确定递推公式
这一类问题，基本是要分析两种情况
- s[i - 1] 与 t[j - 1]相等
- s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等
当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。
一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母，所以只需要 dp[i-1][j-1]。
一部分是不用s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。
例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s也可以不用s[3]来匹配，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。
当然也可以用s[3]来匹配，即：s[0]s[1]s[3]组成的bag。
所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时，dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配（就是模拟在s中删除这个元素），即：dp[i - 1][j]
所以递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j];
为什么只考虑 “不用s[i - 1]来匹配” 这种情况， 不考虑 “不用t[j - 1]来匹配” 的情况呢？
因为求的是 s 中有多少个 t，而不是 求t中有多少个s，所以只考虑 s中删除元素的情况，即 不用s[i - 1]来匹配 的情况。
3、dp数组如何初始化
从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j] 是从上方和左上方推导而来，如图：，那么 dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。
dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。
dp[0][j]表示：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。
那么dp[0][j]一定都是0。
对于dp[0][0] 应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。
初始化分析完毕，代码如下：
vector> dp(s.size() + 1, vector(t.size() + 1));
for (int i = 0; i <= s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) dp[0][j] = 0;
4、确定遍历顺序
从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j]都是根据左上方和正上方推出来的。
所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。
5、举例推导dp数组
以s："baegg"，t："bag"为例，推导dp数组状态如下：
代码如下：
#include
#include
using namespace std;
class Solution {
public:
int numDistinct(string s, string t)
{
//dp[i][j]以i-1为结尾的s中有多少个以j-1结尾t的个数
vector>dp(s.size() + 1, vector(t.size() + 1));
//初始化
dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i < s.size(); i++)
{
dp[i][0] = 1;
}
for (int i = 1; i <= s.size(); i++)
{
for (int j = 1; j <= t.size(); j++)
{
if (s[i-1] == t[j-1])
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
}
else
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
return dp[s.size()][t.size()];
}
}; 运行如下：
