【Luogu】 P4331 [BalticOI 2004] Sequence 数字序列
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题目解法
首先做一个重要的转化：把 b i b_i bi 单调上升变为 b i b_i bi 单调不降
如何转化？将 a i − i a_i-i ai−i 变成新的 a i a_i ai，将 b i − i b_i-i bi−i 变新的 b i b_i bi，这样答案是不变的，且 b i b_i bi 变成了单调不降
考虑对于两段相邻序列 a 1 , . . . , a n a_1,...,a_n a1,...,an 和 a n + 1 , . . . , a n + m a_{n+1},...,a_{n+m} an+1,...,an+m，最优的一组 b b b 分别为 b 1 , . . . , b n ( b 1 = b 2 = . . . = b n ) b_1,...,b_n(b_1=b_2=...=b_n) b1,...,bn(b1=b2=...=bn) 和 b n + 1 , . . . , b n + m ( b b + 1 = b n + 2 = . . . = b n + m ) b_{n+1},...,b_{n+m}(b_{b+1}=b_{n+2}=...=b_{n+m}) bn+1,...,bn+m(bb+1=bn+2=...=bn+m)
考虑合并之后的 b 1 , . . . , b n + m b_1,...,b_{n+m} b1,...,bn+m
令 b 1 = u , b n + 1 = v b_1=u,\;b_{n+1}=v b1=u,bn+1=v
- u ≤ v u\le v u≤v， b i b_i bi 的值不用改变，直接合并即可
- u > v u>v u>v
令合并后的答案为 c 1 , . . . , c n + m c_1,...,c_{n+m} c1,...,cn+m
考虑结论： c n ≤ u c_n\le u cn≤u
证明：如果有 c n > u c_n>u cn>u，那么把 c 1 , . . . , c n c_1,...,c_n c1,...,cn 替换成 u u u 也是一组合法的解，且答案不会变劣
同理可得 c n + 1 ≥ v c_{n+1}\ge v cn+1≥v
考虑最优解 c 1 , . . . , c n + m ( c n ≤ u , c n + 1 ≥ v ) c_1,...,c_{n+m}(c_n\le u,\;c_{n+1}\ge v) c1,...,cn+m(cn≤u,cn+1≥v)
把 c 1 , . . . , c n + m c_1,...,c_{n+m} c1,...,cn+m 替换为 a 1 , . . . , a n + m a_1,...,a_{n+m} a1,...,an+m 的中位数 k k k 答案不会更劣
证明：若 c 1 > k c_1>k c1>k 或 c n + m < k c_{n+m}cn+m<k ，那么易知可以替换；若 c n < k c_ncn<k 且 c n + 1 > k c_{n+1}>k cn+1>k，根据 1 − n 1-n 1−n 中 ≥ u \ge u ≥u 的 a i a_i ai 一定不小于一半， n + 1 − m n+1-m n+1−m中 l e v le v lev 的 a i a_i ai 一定不小于一半可以证得
所以可以一个一个添加数，一段一段往前合并即可
考虑如何合并？用左偏树维护前一半的最大值
考虑合并如何合并两个左偏树？直接合并即可
直接合并左偏树维护中位数在没有限制的两个序列中是不对的
但这道题中是有特殊限制的
![【Luogu】 P4331 [BalticOI 2004] Sequence 数字序列_第1张图片](http://img.e-com-net.com/image/info8/f03845bee31f4bb8a0f30a2081b54e57.png)
考虑新的中位数一定出现在橘色框内，且上面序列的橘色框是维护到了，但下面序列的橘色框内是没有维护到的，但因为只添加了一个数，且之前的中位数是大于上方序列的中位数的，所以下面序列的橘色框内没有数，所以直接合并恰好是可行的
时间复杂度 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)
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