微积分：求高阶导数的几个技巧，不难，但考研数学很喜欢考

求高阶导数的技巧有哪些呢？

从历年研究生招生考试的命题中可以看出，求显函数高阶导数的题型主要有：

（1）求出所给函数的n阶导数表示式；

（2）求出所给函数指定阶的导数（或指定阶的导数值）；

（3）证明所给函数的n阶导数公式；

（4）证明所给函数满足高阶导数方程。

本文通过几个实例讨论显函数的高阶导数的求法。

求法一、利用线性运算法则及基本公式求之

为此，常把求高阶导数的函数化为适合应用上述公式的函数或其代数和。

解：根据线性运算法则及（8）式得到：

注意 ：求有理分式函数的n阶导数，一般先把有理函数化为多项式与真分式之和，如需要再把真分式化为最简分式之和，然后分项求其n阶导数。

求法二、先求函数的一阶（低阶）导数，再对所求得的导数使用已知的n阶导数公式，从而求出该函数的n阶导数的表示式

有些函数虽不能直接使用已知的n阶导数公式，但其一阶（低阶）导数却能化为适合使用上述n阶导数公式的函数形式，从而求出该函数的n阶导数。

求法三、对两个函数的乘积，有时可使用莱布尼茨公式求其高阶导数

当所求高阶导数的函数是两个函数的乘积时，宜用上述莱布尼茨公式求之，特别其中一个因子为次数较低的多项式函数时，由于阶数高于该次数的导数均为零，因而求导结果比较简单（项数较小），故常用莱布尼茨公式求以多项式为因子的函数乘积的高阶导数、指定阶的导数、指定阶的导数在指定点的值。

另外，当两个因子函数中，其中有一个函数的各阶导数有明显的规律性时，也常用莱布尼茨公式求其高阶导数。

求法四、用泰勒公式或麦克劳林公式求任意阶可导函数在某一点处的高阶导数值

求法五、建立导数方程，利用递推关系求之

求法六、用数学归纳法证明所给函数的高阶导数公式

求法七、用复合函数求导法则求之

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