蓝桥杯——三体攻击

原题链接：三体攻击

题目描述

三体人将对地球发起攻击。

为了抵御攻击，地球人派出了 $A\times B\times C$ 艘战舰，在太空中排成一个 $A$ 层 $B$ 行 $C$ 列的立方体。

其中，第 $i$ 层第 $j$ 行第 $k$ 列的战舰（记为战舰 $(i,j,k)$）的生命值为 $d(i,j,k)$。

三体人将会对地球发起 $m$ 轮“立方体攻击”，每次攻击会对一个小立方体中的所有战舰都造成相同的伤害。

具体地，第 $t$ 轮攻击用 $7$ 个参数 $l{a}_t,r{a}_t,l{b}_t,r{b}_t,l{c}_t,r{c}_t,h_t$ 描述；

所有满足$ i∈[la_t,ra_t],j∈[lb_t,rb_t],k∈[lc_t,rc_t]$ 的战舰 $(i,j,k)$ 会受到 $h_t$ 的伤害。

如果一个战舰累计受到的总伤害超过其防御力，那么这个战舰会爆炸。

地球指挥官希望你能告诉他，第一艘爆炸的战舰是在哪一轮攻击后爆炸的。

输入格式

第一行包括 $4$ 个正整数 $A,B,C,m；$

第二行包含 $A\times B\times C$ 个整数，其中第 $((i-1)\times B+(j-1))\times C+(k-1)+1$ 个数为 $d(i,j,k)；$

第 $3$ 到第 $m+2$ 行中，第 $(t-2)$ 行包含 $7$ 个正整数 $l{a}_t,r{a}_t,l{b}_t,r{b}_t,l{c}_t,r{c}_t,h_t。$

输出格式

输出第一个爆炸的战舰是在哪一轮攻击后爆炸的。

保证一定存在这样的战舰。

数据范围

$1\le A\times B\times C\le 106,$
$1\le m\le 106,$
$0\le d(i,j,k),ht\le 109,$
$1\le l{a}_t\le r{a}_t\le A,$
$1\le l{b}_t\le r{b}_t\le B,$
$1\le l{c}_t\le r{c}_t\le C$
层、行、列的编号都从 $1$ 开始。

输入样例1：

2 2 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 1 1
1 1 1 2 1 2 1
1 1 1 1 1 1 2

输出样例1：

2

样例解释：

在第 $2$ 轮攻击后，战舰 $(1,1,1)$ 总共受到了 $2$ 点伤害，超出其防御力导致爆炸。

二分 + 前缀和 + 差分

这是一道二分 + 前缀和 + 差分的题

因为每一轮造成的伤害结果都是递减的，即血量随着轮数增加而减少，存在单调性，所以可以利用二分找到第一个血量小于零的分界点

对于攻击每一块区域，就是某一块区域内都减去某一个值，这是三维差分

可以推出公式：

$$S_{x,y,z}=b_{x,y,z}+S_{x-1,y,z}+S_{x,y-1,z}-S_{x-1,y-1,z}+S_{x,y,z-1}-S_{x-1,y,z-1}-S_{x,y-1,z-1}+S_{x-1,y-1,z-1}$$

$S$ 是原数组，$b$ 是差分数组

那么可以根据此公式计算出每一块的差分，类似于二维差分，可以对某一个点 $-h(h是伤害值)$ ，其它某些点 $+/-h$

$b_{x,y,z}-=h,b_{x+1,y,z}+=h...$ 可以发现规律，如果 $+1$ 是偶数个，那么就是 $-h$ ，奇数个就是 $+h$ ，总共有$8$个($2^3$)

c++代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 2000010;

typedef long long LL;
int A, B, C, m;
LL s[N], b[N], bp[N];
int op[N / 2][7];

const int d[8][4] = {
    {0,0,0,1},
    {0,0,1,-1},
    {0,1,0,-1},
    {0,1,1,1},
    {1,0,0,-1},
    {1,0,1,1},
    {1,1,0,1},
    {1,1,1,-1}
};

int get(int i,int j,int k) {
    
    return (i * B + j) * C + k;
}

bool check(int mid) {
    memcpy(b,bp,sizeof bp);
    for(int i = 1;i <= mid;i ++) {
        int x1 = op[i][0], x2 = op[i][1], y1 = op[i][2], y2 = op[i][3], z1 = op[i][4], z2 = op[i][5], h = op[i][6];
        b[get(x1,     y1,     z1)]     -= h;
        b[get(x1,     y1,     z2 + 1)] += h;
        b[get(x1,     y2 + 1, z1)]     += h;
        b[get(x1,     y2 + 1, z2 + 1)] -= h;
        b[get(x2 + 1, y1,     z1)]     += h;
        b[get(x2 + 1, y1,     z2 + 1)] -= h;
        b[get(x2 + 1, y2 + 1, z1)]     -= h;
        b[get(x2 + 1, y2 + 1, z2 + 1)] += h;
    }
    
    memset(s,0,sizeof s);
    for(int i = 1;i <= A;i ++)
        for(int j = 1;j <= B;j ++)
            for(int k = 1;k <= C;k ++) {
                s[get(i,j,k)] = b[get(i,j,k)];
                for(int u = 1;u < 8;u ++) {
                    int x = i - d[u][0], y = j - d[u][1], z = k - d[u][2], t = d[u][3];
                    s[get(i,j,k)] -= s[get(x,y,z)] * t;
                }
                
                if(s[get(i,j,k)] < 0) return true;
            }
    
    return false;
                
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&A,&B,&C,&m);
    
    for(int i = 1;i <= A;i ++)
        for(int j = 1;j <= B;j ++)
            for(int k = 1;k <= C;k ++)
                scanf("%lld",&s[get(i,j,k)]);
    
    for(int i = 1;i <= A;i ++)
        for(int j = 1;j <= B;j ++)
            for(int k = 1;k <= C;k ++)
                for(int u = 0;u < 8;u ++) {
                    int x = i - d[u][0], y = j - d[u][1], z = k - d[u][2], t = d[u][3];
                    bp[get(i,j,k)] += s[get(x,y,z)] * t;
                }
    
    for(int i = 1;i <= m;i ++) 
        for(int j = 0;j < 7;j ++)
            scanf("%d",&op[i][j]);
            
    int l = 1, r = m;
    while(l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if(check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    
    printf("%d\n",r);
    return 0;
}