中考题超纲？从函数角度思考——2021年广东中考数学第25题

中考题超纲？从函数角度思考——2021年广东中考数学第25题

图形间的位置关系，最早可追溯到相交线与平行线，我们在学习一次函数的时候，也讨论过两条直线的位置关系，学习二次函数时，对于抛物线与直线的位置关系，以及双抛物线的情况也并不陌生，研究函数图象的位置与研究图形的位置关系，有其类似的地方，然而更多需要从函数本身的性质出发。

2021年广东省中考数学试题，被认为难度较高，在第25题压轴题中，便出现了一个看上去是含参一元二次不等式组的条件，给诸多考生极大的迷惑。

题目

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过点(-1,0)，且对任意实数x，都有4x-12≤ax²+bx+c≤2x²-8x+6.

(1)求该二次函数解析式；

(2)若(1)中的二次函数图象与x轴正半轴交点为A，与y轴交点为C，点M是(1)中二次函数图象上的动点，问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

解析：

(1)

首先将点(-1,0)代入y=ax²+bx+c中，可得a-b+c=0①；

对于这个含参不等式组，初中阶段没办法求解，因此我们需要将它看作三个函数，即设y1=4x-12，y2=2x²-8x+6，再加上y=ax²+bx+c，如果函数y的图象“夹”在y1和y2之间，便可视为满足条件，由于y1和y3已知，我们不妨先看下它们是否有公共点，作为尝试。

联立y1和y3得方程4x-12=2x²-8x+6，解得x=3，说明这两个函数有唯一公共点(3,0)，如下图：

来点想像力，一次函数y1是一堵墙，二次函数y2是一个大胖子挨着墙(唯一公共点)，现在二次函数y要插到它们之间，那必须经过那个唯一公共点(3,0)，将坐标代入得9a+3b+c=0②；

由①式和②式我们可解得b=-2a，c=-3a，于是y=ax²-2ax-3a，既然是唯一公共点，说明与一次函数y1联立之后所得的方程有两个相等的实数根，联立方程4x-12=ax²-2ax-3a，整理得ax²-(2a+4)x-3a+12=0，其中△=(2a+4)²-4a(-3a+12)=0，解得a=1，所以二次函数解析式为y=x²-2x-3；

(2)

作为典型的平行四边形存在性探究，四个顶点中，点A和点C是定点，点N在x轴上，点M在y轴上，我们从两个定点出发，即线段AC，它可以是平行四边形的边，也可以是对角线。

若AC为对角线，我们可得AN∥CM，由于A、N均在x轴上，所以CM∥x轴，说明点M的纵坐标与点C纵坐标相等，为-3，代入y=x²-2x-3求得M(2,-3)，则CM=2，而AN=CM=2，可得点N1坐标为(1,0)；

若AC为边，不妨将线段AC向右平移，使点C与点M重合，仍然可得AN=CM=2，于是N2坐标为(5,0)，如下图：

还可以将线段AC向上平移，分别得到N3和N4，如下图：

由平行四边形性质可知，点M2和点M3纵坐标相同，所以只需要求出其中一个，另一个就容易得到，先看M3、A、C、N4构成的平行四边形。

由平行四边形是中心对称图形，可知点C到x轴的距离，一定等于点M3到x轴的距离，所以将y=3代入y=x²-2x-3中，求出两根为1-√7和1+√7，其中M3坐标为(1-√7,3)，它与点A横坐标相差2+√7个单位，而点N4与点C横坐标也相差2+√7个单位，因此得到N4(-2-√7,0)，同理，求得点N3(-2+√7,0)；

综上所述，符合条件的点N有四个，分别是(1,0),(5,0),(-2-√7,0),(-2+√7,0).

解题反思

作为压轴题的第1小题，那个一元二次不等式组的确很“吓人”，初中阶段并没有求解一元二次不等式组的内容，但并不意味着本题超纲，事实上我们在九年级学习二次函数时，研究过二次函数与一元二次方程的关系，再回顾八年级学习一次函数时，研究过一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，所以关于不等式组与函数的关联，其实早已建立，从这个角度来看，出现二次不等式组，是希望从函数角度去理解。

函数图象的位置关系，教材中涉及到了一次函数、反比例函数、二次函数，主要是研究它们间的公共点问题，区域最值问题等，第1小题的设置很巧妙，考验了学生对函数关系理解的深度，那个唯一公共点是关键。

本题第2小题，属于比较常见的平行四边形存在性探究，体现  了分类讨论思想，只是由于前1个小题太过于“出彩”，因此掩盖了它的光芒。

我们在函数教学过程中，如何才能让学生理解得更深刻，这是值得思考的一个问题，初中阶段，函数本质上是指两个变量之间的关系，有三种方式可表示这种关系，分别是解析式、表格、图象，理解函数图象的性质，需要明确图象上的点代表的意义，以本题为例，y1和y2有唯一公共点，这和y有什么关系？不等式y1≤y≤y2又如何解读？

我们将这三个函数看作是一个队列，由图象可知对于任意实数y1≤y2，当x=3时取等号，现在y要插队到二者之间，也是当x=3时取等号，这相当于y1、y、y2都只能有唯一公共点(3,0)，并且对于任意实数，y1在y的“上方”，y在y2的“上方”，再结合其余条件去求a的值。

2021年的广东省中考数学，精彩不止于压轴题，整卷难度较往年有突破，值得研究。