Java 递归求解八皇后问题

一、规则

八皇后问题是一个经典的回溯算法问题，旨在找到在 8×8 的棋盘上放置 8 个皇后，使得它们互相之间不能相互攻击（即不能在同一行、同一列或同一对角线上）。

二、代码实现

public class EightQueens {
    // 棋盘行列数为 8
    private static int SIZE = 8;
    // 用一维数组记录八皇后的摆放方案
    // q[i] 中的 i 表示第几个皇后
    // q[i] 表示该皇后放在哪一列
    private static int[] q = {-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1};

    public static void main(String[] args) {
        placeQueen(0);
    }

    // 放置皇后，row 表示第几个皇后
    public static void placeQueen(int row) {
        // 如果 row = 8，说明所有皇后已经摆放完成
        // 直接打印摆放后的棋局
        if (row == SIZE) {
            printQueen();
        } else {
            for (int col = 0; col < SIZE; col++) {
                // 判断皇后是否能放在该格
                // 可以则进行下一个皇后的摆放
                if (isSafe(row, col)) {
                    q[row] = col;
                    placeQueen(row + 1);
                }
            }
        }
    }

    // 判断该格是否安全
    public static boolean isSafe(int row, int col) {
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            // 是否与已摆放的皇后位于同一列、位于左上到右下的对角线、位于右上到左下的对角线
            if (q[i] == col || q[i] - i == col - row || q[i] + i == col + row) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    // 打印摆放后的棋局，Q表示皇后
    public static void printQueen() {
        for (int i = 0; i < SIZE; i++) {
            for (int j = 0; j < SIZE; j++) {
                if (q[i] == j) {
                    System.out.printf("Q ");
                } else {
                    System.out.printf(". ");
                }
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println();
    }
}

1. 时间复杂度

   • placeQueen() 方法是递归地放置皇后的主要方法。在每个递归层级中，它需要遍历棋盘的每一列，因此时间复杂度为 O(N)，其中 N 是棋盘的大小。由于一共有 N 个皇后需要放置，因此总的时间复杂度为 O(N^N)。
   • isSafe() 方法用于判断当前格子是否安全，即是否与已经放置的皇后冲突。它在每个递归层级中需要遍历已经放置的皇后，因此时间复杂度为 O(N)。由于一共有 N 个皇后，因此总的时间复杂度为 O(N^2)。
   • printQueen() 方法用于打印摆放后的棋局，它需要遍历整个棋盘，时间复杂度为 O(N^2)。

   综上所述，该算法的总时间复杂度为 O(N^N)。

2. 空间复杂度

   • 该算法使用了一个一维数组 q 来记录八皇后的摆放方案，其长度为 N，因此空间复杂度为 O(N)。

   综上所述，该算法的总空间复杂度为 O(N)。

三、运行结果

. . . . . . . Q 
. . . Q . . . . 
Q . . . . . . . 
. . Q . . . . . 
. . . . . Q . . 
. Q . . . . . . 
. . . . . . Q . 
. . . . Q . . .