支配树 学习笔记

概念

对于一张有向图，1号点出发到一个点u，有一些点是会被所有路径经过的，定义这些点支配了u。不难发现支配关系形成一棵树，树上每个点的所有祖先都支配这个点，一个点在支配树上的父亲称为它的支配点。

实现

首先从$1$开始$dfs$，建立一颗$dfs$树，求出每个点的$dfn$。定义一个点$u$半支配点$sd[u]$为满足：存在一条从$sd[u]$到$u$的路径$sd[u],v_1,v_2,...,v_k,u$，使得$dfn[v_i]>dfn[u]$的$dfn$最小的点。设u的支配点为$id[u]$，可以证明$id[u]$和$sd[u]$都是$u$在$dfs$树上的祖先。

发现如果只有树边，那么支配树就是$dfs$树。而每个点的半支配点最大限度地使得它的祖先不能成为它的支配点。于是对问题做一个转化：只保留$dfs$树上的树边，再加上每一对$(sd[u],u)$，新的图的支配树与原图等价。

这样对于新的图就比较好做了：首先它是一个DAG，可以直接按照DAG的做法，但还可以进一步简化。对于一个点$u$，它的支配点是$sd[u]$及其祖先中的一个。如果是$sd[u]$的祖先，那么存在一条从根到$u$跨过$sd[u]$的路径，故一定有一条边$(sd[w],w)$跨过了$sd[u]$，直接找$u$到$sd[u]中dfn[sd[w]]$最小的$w$即可，如果最小值为$dfn[sd[u]]$，则$id[u]=sd[u]$。

剩下问题在于如何找到半支配点。考虑一个点$u$的$sd[u]$的情况：可能直接是它的父亲，或者就它的一个祖先经过一些dfn大于它的点连到它。对于后者，找到这些点$dfn$最小的点$w$，那么$sd[u]$一定支配了$w$，且路径上所有$w$之后的点都是$w$的后代，可以用$w$来更新$sd[u]$。

由于$dfn[w]>dfn[u]$，于是考虑按照$dfn$倒序。对于一个点$u$，找到所有有边连向它的点$v$，考虑用这些边来计算$u$的$sd[u]$。如果$dfn[v]<dfn[u]$，直接用$v$更新$sd[u]$，否则，由于$w$一定是$v$的祖先，找到$v$到根的$sd[u]$的最小值即可。之后，把$u$连向它$dfs$树上的父亲，可计算出所有$sd[u]=fa[u]$的点的$id[x]$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,m,hd[N],to[N],nx[N],tt;
void add(int u,int v){ //cout<<"add:"<
	nx[++tt]=hd[u]; to[hd[u]=tt]=v;
}
vector<int>fr[N],ux[N];
int dn[N],fa[N],dx[N],sz[N],ct;
void dfs(int u){
	dn[u]=++ct; dx[ct]=u; sz[u]=1;
	for(int e=hd[u];e;e=nx[e]) if(!dn[to[e]]){
		int v=to[e]; fa[v]=u; dfs(v); sz[u]+=sz[v];
	}
}
int id[N],sd[N],mn[N],fu[N],su[N],pt[N];
int find(int u){
	if(u==fu[u]) return u;
	int v=fu[u],w=find(fu[u]);
	if(mn[v]<mn[u]) pt[u]=pt[v],mn[u]=mn[v];
	fu[u]=w;
	return w;
}
vector<int>h[N]; bool vs[N];
int main()
{
	srand(time(0));
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	cin>>n>>m;
	for(int u,v,i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d",&u,&v),h[u].push_back(v),fr[v].push_back(u);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sort(h[i].begin(),h[i].end());
		int z=unique(h[i].begin(),h[i].end())-h[i].begin();
		for(int j=0;j<z;j++) add(i,h[i][j]);
	}
	dfs(1);
	for(int i=1;i<=n;i++) sd[i]=fu[i]=i,pt[i]=i,mn[i]=dn[i];//cout<<"u="<for(int i=n;i;i--){
		int u=dx[i],z=fr[u].size();
		//cout<<"u="<
		for(int j=0;j<z;j++){
			int v=fr[u][j];
			if(dn[v]<dn[u]){
				if(dn[v]<dn[sd[u]]) sd[u]=v;
			}
			else{
				find(v);
				if(mn[v]<dn[sd[u]]) sd[u]=dx[mn[v]];
			}
		}
		//cout<<"sd="<
		int v=fa[u]; ux[sd[u]].push_back(i);
		fu[u]=v;
		if(dn[sd[v]]<dn[sd[u]]) mn[u]=dn[sd[v]],pt[u]=v;
		else mn[u]=dn[sd[u]],pt[u]=u;
		int b=dn[u]+sz[u]-1; z=ux[v].size();
		if(!z) continue;
		int l=0,r=z-1;
		while(l<r){
			int mid=(l+r)>>1;
			if(ux[v][mid]<=b) r=mid;
			else l=mid+1;
		}
		if(ux[v][l]>b) l++;
		for(int j=l;j<z;j++){
			int x=dx[ux[v][j]];
			find(x);
			if(mn[x]==dn[sd[x]]) id[x]=sd[x];
			else id[x]=pt[x],vs[x]=1;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) if(vs[dx[i]]) id[dx[i]]=id[id[dx[i]]];
	for(int i=n;i;i--) su[dx[i]]++,su[id[dx[i]]]+=su[dx[i]];
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",su[i]); puts("");
	return 0;
}