信号时延估计算法—Gcc-Phat原理及实现

前言

       基于TDOA（到达时间差）作为被广泛应用的声源定位算法之一，其核心即需要估计信号之间的时延，然后通过解方程组获取声源的位置。而广义互相关（Generalized Cross Correlation）是估计时延的常用算法之一，接下来总结一下该算法。

信号传播时延

 

       如上图所示，一声源经过时间、分别到达麦克风1和麦克风2，则两个麦克风接收的信号可以表示为：

即为信号到达两个麦克风之间的时延。

互相关算法

      先来看一下互相关计算时延的模型：

      将信号带入上述模型：

      假设与、均互不相关，则可得到（具体步骤不再赘述，感兴趣的可以自己展开推导一下）：

       然后假设、是互不相关的高斯白噪声，上式重新写为：

       由互相关函数性质可知，当时，取最大值，即两个麦克风之间的时延。

       由此拓展至频域，互相关函数与互功率谱的关系可以表示为：

广义互相关-相位变换加权算法（Gcc-Phat）

       由上述信号模型可知，在实际环境中不可避免的存在噪声甚至混响，导致互相关函数的峰值并不明显，算法性能急剧下降。因此考虑在频域内对互功率谱进行加权，从而能抑制噪声和混响的干扰。再通过逆傅里叶变换，得到互相关函数，模型如下：

即为频域加权函数。

      最常用的加权函数为相位变换（Phase Transformation）加权，表达式如下：

该加权函数本质上相当于白化滤波，当噪声水平较高时作用明显。

       综上，Gcc-Phat算法估计信号时延的流程可总结为：

 算法实现

       MATLAB中有一个内置时延估计函数—gccphat，但是考虑到算法移植，还是需要手动实现。下面附上个人对该算法的实现代码，仅供参考。

% 傅里叶变换至频域
x1_fft = fft(x1);
x2_fft = fft(x2);

% 计算互功率谱
G = x1_fft.*conj(x2_fft);

% 相位变换加权
w = 1./(abs(G));

% 加权互功率谱
Gw = G.*w;

% 逆傅里叶变换得到互相关函数
R12 = ifft(Gw);

% 零频平移
R12_shift = ifftshift(R12);

% 找峰值
[~, idx] = max(abs(R12_shift));

% 计算时延（N为采样点，fs为采样频率）
sIndex = -N/2 : N/2-1;
delay = -sIndex(idx)/fs;

然后与MATLAB的gccphat函数进行对比验证。

fs = 16384;
N = 1024;
x1 = randn(N,1);
tau = 0.003;
x2 = delayseq(x1,tau,fs);

%----------内置函数
gccphat(x2,x1,fs);

<< 0.003

%----------上述实现代码
GccPhat(x1,x2,fs,N);

<< 0.003

 内置函数与个人实现的算法估计的时延均与理论值一致，验证通过！

结语

       常用的加权函数还有另外几种，如ML加权等，不同的加权适用于不同的条件，感兴趣的可以继续深入了解，也欢迎与我私信交流。

       总结不易，点个赞吧！