使用FFT估计信号功率谱、功率谱密度
前言
功率谱和功率谱密度是信号处理中常见的两个概念，而且很容易混淆，因此在学习之余总结一下，与君共勉。
功率谱（Power Spectrum，PS）
功率谱是用来描述功率信号的，表示信号在每个频率分量上的功率，单位是w（或dB）。 根据维纳—辛钦定理可知：一段信号的功率谱等于其自相关函数的傅里叶变换。
因此计算功率谱有两种方法：
1）直接法：信号傅里叶变换的平方/区间长度；
2）相关函数法：信号自相关函数的傅里叶变换。
功率谱密度（Power Spectrum Density，PSD）
功率谱密度和功率谱是不同的概念。功率谱密度表征的是单位频带内的信号功率，单位是w/Hz（或dB/Hz）。
FFT方法估计PS、PSD
功率谱和功率谱密度都与傅里叶变换有着紧密的联系，本文主要针对频率成分不随时间变化的平稳信号，采用FFT方法获取PS、PSD估计，以下代码仅供学习参考。
1）首先仿真生成一段信号
fs = 32000;
N = 1024;
t = 0:1/fs:(N-1)/fs;
freq = 8000;
x = cos(2*pi*freq*t) + randn(size(t))/sqrt(2);
2）加窗（是否加窗取决于实际情况），进行傅里叶变换
win = hamming(N);
xw = 1.586*x.*win.'; % 海明窗修正系数
xdft = fft(xw);
xdft = xdft(1:N/2+1);由于这里添加了海明窗，为了使加窗后信号能量保证不变，因此需要加入一个能量修正系数。
3）计算功率谱
psx = (1/N) * abs(xdft).^2;
psx(2:end-1) = 2*psx(2:end-1);
由于信号是实数值信号，只需要对正负频率之一进行功率估计，并且零频率 (DC) 和奈奎斯特频率不会出现两次。为了保持总功率不变，同时在两组（正频率和负频率）中出现的所有频率乘以2。
4）绘图
fb = 0:fs/N:fs/2;
figure
plot(fb/1e3,10*log10(psx))
grid on
grid minor
title("Power Spectrum Using FFT")
xlabel("Frequency (kHz)")
ylabel("Power (dB)")
5）计算功率谱密度，绘图
psdx = (1/(fs*N)) * abs(xdft).^2;
psdx(2:end-1) = 2*psdx(2:end-1);
figure
plot(fb/1e3,10*log10(psdx))
grid on
grid minor
title("Power Spectrum Density Using FFT")
xlabel("Frequency (kHz)")
ylabel("Power/Frequency (dB/Hz)")
对比验证
为了验证上述方法的计算结果是否正确，接下来使用MATLAB的periodogram函数绘制周期图进行对比。
figure
plot(fb/1e3,10*log10(psdx),'r-.'), hold on
periodogram(x,win,N,fs)
grid on
grid minor
title("Power Spectrum Density")
legend('FFT','Periodogram')
xlabel("Frequency (kHz)")
ylabel("Power/Frequency (dB/Hz)")
二者的曲线重合，再来看一下最大误差：
maxerr = max(psdx' - periodogram(x,win,N,fs));
<< maxerr = -3.6629e-12
显然，对比结果验证了上述方法计算PS、PSD的正确性。
结语
需要注意的部分主要是窗函数修正系数，以及总功率乘以因子，感兴趣的可以继续深入了解，也欢迎与我私信交流。