代码随想录算法训练营day51

Day51

最佳买卖股票时机含冷冻期

309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期 - 力扣（LeetCode）

题目

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例:

• 输入: [1,2,3,0,2]
• 输出: 3
• 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

思路

动规五部曲

• 定义dp数组以及下标含义

dp[i][j]:第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。

具体可以区分出如下四个状态：

• 状态一：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）

• 不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态

  • 状态二：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）
  • 状态三：今天卖出股票

• 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！

j的状态为：

• 0：状态一

• 1：状态二

• 2：状态三

• 3：状态四

• dp数组推导公式

达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]

• 操作二：今天买入了，有两种情况

  • 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
  • 前一天是保持卖出股票的状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]

那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]);

达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是状态二
• 操作二：前一天是冷冻期（状态四）

dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);

达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：

昨天一定是持有股票状态（状态一），今天卖出

即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];

达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：

昨天卖出了股票（状态三）

dp[i][3] = dp[i - 1][2];

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
dp[i][3] = dp[i - 1][2];

• dp数组初始化

这里主要讨论一下第0天如何初始化。

如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0][0] = -prices[0]，一定是当天买入股票。

保持卖出股票状态（状态二），这里其实从 「状态二」的定义来说 ，很难明确应该初始多少，这种情况我们就看递推公式需要我们给他初始成什么数值。

如果i为1，第1天买入股票，那么递归公式中需要计算 dp[i - 1][1] - prices[i] ，即 dp[0][1] - prices[1]，那么大家感受一下 dp[0][1] （即第0天的状态二）应该初始成多少，只能初始为0。想一想如果初始为其他数值，是我们第1天买入股票后 手里还剩的现金数量是不是就不对了。

今天卖出了股票（状态三），同上分析，dp[0][2]初始化为0，dp[0][3]也初始为0。

• 遍历顺序

从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。

• 举例推导公式

以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-1qOprZDY-1690896270221)(https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/2021032317451040.png “309.最佳买卖股票时机含冷冻期”)]

最后结果是取 状态二，状态三，和状态四的最大值，不少同学会把状态四忘了，状态四是冷冻期，最后一天如果是冷冻期也可能是最大值。

代码

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        int dp[][] = new int[len][4];
        // 一共有四种状态,0:持有股票状态, 1:保持卖出股票的状态, 2:今天卖出股票, 3:今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天
        dp[0][0] = -prices[0];

        for(int i = 1; i < len; i++){
            // 持有股票状态
            // 有可能的操作，昨天已持有， 今天刚买：昨天冷冻期刚过，一直保持卖出股票的状态(冷冻期已经过了)
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], Math.max(dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1]  - prices[i]));
            // 保持卖出股票的状态
            // 冷冻期刚过，一直处于卖出状态
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]);
            // 今天卖出股票
            dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
            // 今天为冷冻期状态
            dp[i][3] = dp[i - 1][2];
        }
        return Math.max(dp[len - 1][3], Math.max(dp[len - 1][2], dp[len - 1][1]));
    }
}

买卖股票的最佳时机含手续费

714. 买卖股票的最佳时机含手续费 - 力扣（LeetCode）

题目

给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1:

• 输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
• 输出: 8

解释: 能够达到的最大利润:

• 在此处买入 prices[0] = 1
• 在此处卖出 prices[3] = 8
• 在此处买入 prices[4] = 4
• 在此处卖出 prices[5] = 9
• 总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

注意:

• 0 < prices.length <= 50000.
• 0 < prices[i] < 50000.
• 0 <= fee < 50000.

思路

相对于动态规划：122.买卖股票的最佳时机II (opens new window)，本题只需要在计算卖出操作的时候减去手续费就可以了，代码几乎是一样的。

唯一差别在于递推公式部分，所以本篇也就不按照动规五部曲详细讲解了，主要讲解一下递推公式部分。

这里重申一下dp数组的含义：

dp[i][0] 表示第i天持有股票所省最多现金。 dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来

• 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
• 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]

所以：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);

在来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，注意这里需要有手续费了即：dp[i - 1][0] + prices[i] - fee

所以：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);

本题和动态规划：122.买卖股票的最佳时机II (opens new window)的区别就是这里需要多一个减去手续费的操作。

代码

/**
 * 卖出时支付手续费
 * @param prices
 * @param fee
 * @return
 */
class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int dp[][] = new int[prices.length][2];
        // 0: 持有股票,1:不持有股票,不持有股票的时候收益最大
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for(int i = 1; i < prices.length; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);
        }
        return dp[prices.length - 1][1];
    }
}

/**
 * 买入时支付手续费
 * @param prices
 * @param fee
 * @return
 */
class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int dp[][] = new int[prices.length][2];
        // 0: 持有股票,1:不持有股票,不持有股票的时候收益最大
        dp[0][0] = -prices[0] - fee;
        dp[0][1] = 0;
        for(int i = 1; i < prices.length; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i] - fee);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[prices.length - 1][1];
    }
}