KM算法：指派问题（有权二分图2）

指派问题（Assignment problem）

在满足特定指派要求条件下，使指派方案总体效果最佳。（KM算法的另一种理解角度）

如：有若干项工作需要分配给若干人（或部门）来完成；有若干项合同需要选择若干个投标者来承包：有若干班级需要安排在若干教室里上课等。

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（结合参考一的代码和案例观看！！！）

总架构

void HungarianAlgorithm::RunAssignment() {
  (void)step_one();
  (void)step_two();
  int step = 3;
  int path_zero[2];
  while (true)
    switch (step) {
      case 3:
        step = step_three();
        break;
      case 4:
        step = step_four(path_zero);
        break;
      case 5:
        step = step_five(path_zero);
        break;
      case 6:
        step = step_six();
        break;
      case 7:
        return;
      default:
        assert(false);
    }
}

step 1

对于矩阵的每一行，找出最小的元素，并将其从矩阵的每一行中减去；

step 2

在新矩阵中，

​ 1.循环查找零点Z，且满足行或列未被标定的话，Z点标星（M矩阵对应置1），RowCover和ColCover置1；

​ 2.RowCover和ColCover数组分别置0；

step 3

计算标星点的列数，如果等于K（行数和列数的最小值），done;否则，step 4;

step 4

寻找cover行列之外的零点，设为斜点。（没有的话取未覆盖区域最小值，step 6）

​ 1.如果该斜点的行中无星点，step 5;

​ 2.有星点，cover行，并uncover星点列。以此类推，直到没有uncover的零点。保存最小的uncover值，step 6;

step 5

构造一系列交替斜点和星点。

• Z0表示step 4中最后发现的斜点，Z1表示Z0同列的星点，Z2表示Z1同行的斜点，以此类推，直到终止于一个斜点；

• 清除路径上的各个星点，斜点变星点，并擦除所有的线，返回step 3;

存在终止于星点的情况，此时，该增广路是不反置的

step 6

• 未覆盖区域最小值min：覆盖行各元素+min;未覆盖列-min;

• 返回step 4,不改变斜点、星点和覆盖线；

参数列表

C： cost matrix,m x n,成本矩阵;

k=min(m,n)行列最小数；

Z：矩阵零点；

M: mask matrix,掩膜矩阵，与成本矩阵C同纬度，用来标注C中的星点（1）和斜点（2）；

RowCover、ColCover：标记成本矩阵C的行或列的记录；

path_row_0、path_col_0：step 4中最后一个斜点的行和列；

path_count：路径的长度；

path：记录增广路径上各点的行与列；

参考

1.Munkres' Assignment Algorithm

2.匈牙利算法 (Kuhn-Munkres) 算法