约数（试除法求约数 约数个数 约数之和 最大公约数）

---

一、试除法求约数

典型例题

题目描述：
给定 $n$ 个正整数 $a_i$，对于每个整数 $a_i$，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。

输入格式：
第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个整数 $a_i$。

输出格式：
输出共 $n$ 行，其中第 $i$ 行输出第 $i$ 个整数 $a_i$ 的所有约数。

数据范围：
$1\le n\le 100,1\le a_i\le 2\ast 10^9$

输入样例：

2
6
8

输出样例：

1 2 3 6 
1 2 4 8 

代码实现

#define _CRT_NO_SECURE_WARNINGS
#include
#include
#include

using namespace std;

vector<int> get_divisors(int n)
{
	vector<int> res;
	for (int i = 1; i <= n / i; ++i)
	{
		if (n % i == 0)
		{
			res.push_back(i);
			if (i != n / i) res.push_back(n / i);
		}
	}
	sort(res.begin(), res.end());
	return res;
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	while (n--)
	{
		int a;
		cin >> a;
		auto res = get_divisors(a);
		for (auto e : res) cout << e << ' ';
		cout << endl;
	}
	return 0;
}

整体时间复杂度：$O(\sqrt{n})$

$a$ 是 $b$ 的约数 ⇒ $b$ 是 $a$ 的倍数

因此，要计算 $1$ ~ $n$ 的所有约数，可以通过计算每个数在范围内的其倍数的数目来得到。
$$\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+...+\frac{n}{n}\Rightarrow n\log n$$

所以每个数的平均约数为 $\log n$

快速排序的时间复杂度：$O(\log n\log \log n)$

二、约数个数

思路分析

由算数的基本定理，可得 $n$ 的唯一分解式：
$$n=P_1^{r_1}\ast P_2^{r_2}\ast ...\ast P_k^{r_k}$$

$n$ 的约数个数公式：
$$\phi (n)=(r_1+1)\ast (r_2+1)\ast ...\ast (r_k+1)$$

证明：

以 $P_1$ 为例，这个质数因子，可以选择 $0$ 个，可以选择 $1$ 个等等，最多可以选择 $r_1$ 个，就是有 $r_1+1$ 种选择的可能性，对 $P_2,P_3,...,P_k$ 也都是如此，根据乘法原理，所有的可能性就是 $(r_1+1)\ast (r_2+1)\ast ...\ast (r_k+1)$。

例如：

$180=2^2\ast 3^2\ast 5$
$\phi (180)=(2+1)\ast (2+1)\ast (1+1)=18$

典型例题

题目描述：
给定 $n$ 个正整数 $a_i$，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 $10^9+7$ 取模。

输入格式：
第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个整数 $a_i$。

输出格式：
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 $109+7$ 取模。

数据范围：
$1\le n\le 100,1\le a_i\le 2\times 10^9$

输入样例：

3
2
6
8

输出样例：

12

代码实现

#define _CRT_NO_SECURE_WARNINGS
#include
#include

using namespace std;

unordered_map<int, int> primes;
void divide(int n)
{
	for (int i = 2; i <= n / i; ++i)
	{
		while (n % i == 0)
		{
			primes[i]++;
			n /= i;
		}
	}
	if (n > 1) primes[n]++;
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	while (n--)
	{
		int a;
		cin >> a;
		divide(a);
	}
	long long res = 1;
	for (auto t : primes) res *= (t.second + 1) % ((int)1e9 + 7);
	cout << res << endl;
	return 0;
}

三、约数之和

思路分析

约数之和的公式：
$$(P_1^0+P_1^1+P_1^2+...+P_1^{r_1})\ast ...\ast (P_k^0+P_k^1+P_k^2+...+P_k^{r_k})$$
通过排列组列便可以得出所有约数之和

典型例题

题目描述：
给定 $n$ 个正整数 $a_i$，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 $10^9+7$ 取模。

输入格式：
第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个整数 $a_i$。

输出格式：
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案需对 $10^9+7$ 取模。

数据范围：
$1\le n\le 100,1\le a_i\le 2\times 10^9$

输入样例：

3
2
6
8

输出样例：

252

代码实现

#define _CRT_NO_SECURE_WARNINGS
#include
#include

using namespace std;

unordered_map<int, int> primes;
const int mod = 1e9 + 7;
void divide(int n)
{
	for (int i = 2; i <= n / i; ++i)
	{
		while (n % i == 0)
		{
			primes[i]++;
			n /= i;
		}
	}
	if (n > 1) primes[n]++;
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	while (n--)
	{
		int a;
		cin >> a;
		divide(a);
	}
	long long res = 1;
	for (auto t : primes)
	{
		long a = t.first, b = t.second, e = 1;
		while (b--) e = (e * a + 1) % mod;
		res = res * e % mod;
	}
	cout << res << endl;
	return 0;
}

四、最大公约数

思路分析

欧几里得算法（辗转相除法）

设 $a$ 为被除数，$b$ 为除数，若 $d|a$ 且 $d|b$，则：$$d|(a+b)$$$$d|(a\ast x+b\ast y)$$

余数 $r=a-k\ast b$ ($k\in Z$)，由于 $a$ 与 $b$ 均为 $d$ 的倍数，所以可以得到 $d|r$。

用 $(a,b)$ 代表 $a$ 和 $b$ 的最大公约数，可得$$(a,b)=(b,r)$$

故而：

(a,b) =(b, a % b)

典型例题

题目描述：
给定 $n$ 对正整数 $a_i,b_i$，请你求出每对数的最大公约数。

输入格式：
第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个整数对 $a_i,b_i$。

输出格式：
输出共 $n$ 行，每行输出一个整数对的最大公约数。

数据范围：
$1\le n\le 10^5,1\le a_i,b_i\le 2\times 10^9$

输入样例：

2
3 6
4 6

输出样例：

3
2

代码实现

#define _CRT_NO_SECURE_WARNINGS
#include
using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	while (n--)
	{
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		cout << gcd(a, b) << endl;
	}
	return 0;
}