层次分析法（个人日常数学建模学习记录）-1

定位：解决评价类问题，是数学建模中最基础的模型之一

该层次分析法可以由三个简单的步骤进行总结：

1.评价的目标

2.评价的可选方案

3.评价的准则或者指标

因评价类问题可以用打分来解决

因此可以对其进行打分用来建立矩阵，从而进行一致性检验之后，确定各个目标的权重，最终选出正确的方案。

1 表示两个因素相比，具有同样重要性
3 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
5 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要
7 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
9 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
倒数A和B相比如果标度为3，那么B和A相比就是1/3

首先对每个方案进行指标的选择和建立，建立判断矩阵，并进行一致性检验，再用算数平均法，几何平均法，特征值法之一求得权重，并填入相应的表格

在对指标层进行建立判断矩阵，并进行一致性检验，同样用上面方法之一求得权重，填入表格之中

ps：从上往下依次为  目标层    决策层    方案层

然后对每一个方案层进行指标权重相乘从而进行打分

一致性检验：

1.若矩阵中每个元素且满足，则我们称该矩阵为正互反矩阵。
在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。
若正互反矩阵满足，则我们称其为一致矩阵。

 2.A为n阶方阵，且r(A)=1,则A中有一个特征值为tr(A)，其余的特征值都为0。因为一致矩阵的各行成比例且不是零矩阵，所以一致矩阵的秩一定为1.因此可得 一致矩阵一定有一个特征值为n，其余的特征值均为0.

3.计算一致性检验的步骤：

第一步：计算一致性指标CI

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 第二步：查找对应的平均随机一致性矩阵

第三步计算一致性比例CR

                                                    

如果CR<0.1,则可以认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对矩阵进行修正。

ps：求矩阵的特征值和特征向量[V,D]=eig(A) D为带有特征值的对角矩阵，V为对应的右特征向量

 求权重的方法详解：

1.算数平均法

 第一步：将判断矩阵按照列归一化
（每一个元素除以其所在列的和）
第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

2.几何平均法

第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
第二步：将新的向量的每个分量开n次方
第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量

3.特征值平均法

第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重