走走走走走走你
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高斯推断（联合高斯概率密度函数，分解与推断）

对于⼀对服从多元正态分布的变量 ( x , y ) ，可以写出它们的联合概率密度函数：
p(x,y)=N(\begin{bmatrix} \mu_{x}\\ \mu_{y} \end{bmatrix},\begin{bmatrix} \Sigma _{xx} & \Sigma _{xy}\\ \Sigma _{yx}& \Sigma _{yy} \end{bmatrix})
根据Bay's rule， p(x,y)=p(x|y)p(y)，能不能得到条件概率 p(x|y)和边缘概率 p(y)的高斯分布？
高斯推断告诉我们是可以的！
p(x|y)p(y)是左边被拆分成两个部分的形式，因此努力方向是怎么对左边进行差分
根据舒尔补理论： 舒尔补理论Schur Compliment，这简单理解就是一个矩阵分解的方法

 两边求逆：

高斯推断（联合高斯概率密度函数，分解与推断）_第1张图片

 我们只需关注高斯分布的指数部分(x-\mu)^T\Sigma ^{-1}(x-\mu)，代入上式：

高斯推断（联合高斯概率密度函数，分解与推断）_第2张图片

 这样指数部分就被拆分为两个部分的和，实际可以理解为e^{x+y}=e^x+e^y

与单个变量的多元高斯分布公式形式进行对比

 高斯推断（联合高斯概率密度函数，分解与推断）_第3张图片

 可得他们的高斯形式：

 这是一个非常漂亮的结果，我们不仅可以通过联合分布和边缘分布计算条件分布，还说明了p(x)\sim N(\mu_x,\Sigma_{xx} )有了观测y之后，p(x|y)的均值做了调整，协方差也减小了，这体现了观测y对状态x的一个修正。

 

 【参考】《机器人学中的状态估计》@深蓝学院

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