序列方差[NTT]
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D e s c r i p t i o n \mathcal{Description} Description
给你一个长度为 n n n的数组 a a a
你会得到 q q q 条指令, 分两种:
- 1 l r w 1\ l\ r\ w 1 l r w 表示把 l , l + 1 , … r l, l + 1,\ldots r l,l+1,…r 这段区间的每一个数 + w +w +w.
- 2 l r 2\ l\ r 2 l r 表示询问 l , l + 1 , … r l, l + 1, \ldots r l,l+1,…r 这段区间每个子序列的方差之和.
对于每个询问输出一行表示答案
答案对 998244353 998244353 998244353取模
n , q ≤ 1 0 5 0 ≤ a i , w < 998244353 n,q\leq 10^5\\ 0\leq a_i,w<998244353 n,q≤1050≤ai,w<998244353
S o l u t i o n \mathcal{Solution} Solution
方差的定义
对一个序列 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\ldots,a_n a1,a2,…,an，设其平均数为 a ‾ = ∑ a i n \overline a=\dfrac{\sum\limits a_i}{n} a=n∑ai，方差 s 2 = ∑ ( a i − a ‾ ) 2 n s^2=\dfrac{\sum\limits \left(a_i-\overline a\right)^2}{n} s2=n∑(ai−a)2
前置知识
( a 1 + a 2 + … + a n ) 2 = a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 + 2 ∑ i ! = j a i a j \left(a_1+a_2+\ldots+a_n\right)^2=a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2+2\sum\limits_{i!=j} a_ia_j (a1+a2+…+an)2=a12+a22+…+an2+2i!=j∑aiaj
s 2 = ∑ ( a i − a ‾ ) 2 n = ∑ ( a i 2 − 2 a i a ‾ + a ‾ 2 ) n = ∑ a i 2 − 2 n a ‾ 2 + n a ‾ n = ∑ a i 2 − n a ‾ 2 n = ∑ a i 2 − ∑ a i 2 + 2 ∑ i ! = j a i a j n n s^2=\dfrac{\sum\limits \left(a_i-\overline a\right)^2}{n}=\dfrac{\sum \left(a_i^2-2a_i\overline a+\overline a^2\right)}{n}=\dfrac{\sum a_i^2-2n\overline a^2+n\overline a}{n}=\dfrac{\sum a_i^2-n\overline a^2}{n}=\dfrac{\sum a_i^2-\dfrac{\sum a_i^2+2\sum\limits_{i!=j}a_ia_j}{n}}{n} s2=n∑(ai−a)2=n∑(ai2−2aia+a2)=n∑ai2−2na2+na=n∑ai2−na2=n∑ai2−n∑ai2+2i!=j∑aiaj
把式子提出来重写一遍
s 2 = ∑ a i 2 − ∑ a i 2 + 2 ∑ i ! = j a i a j n n s^2=\dfrac{\sum a_i^2-\dfrac{\sum a_i^2+2\sum\limits_{i!=j}a_ia_j}{n}}{n} s2=n∑ai2−n∑ai2+2i!=j∑aiaj
于是可以计算上面的 a i , a i a j a_i,a_ia_j ai,aiaj出现次数(贡献的系数)，考虑一个长度为 n n n的区间，其子序列长度可以是 l e n = 1 , 2 , … , n len=1,2,\ldots,n len=1,2,…,n
考虑 a i a_i ai一定被选，剩下 n − 1 n-1 n−1个数中要选 l e n − 1 len-1 len−1个数出来,类似这样考虑即可
显然对于每个区间内的数，其系数是一样的
设 f n f_n fn表示长度为 n n n的区间里的 a i 2 a_i^2 ai2的系数
则有
f n = ∑ i = 1 n ( n − 1 i − 1 ) 1 − 1 i i = ∑ i = 1 n ( n − 1 i − 1 ) i − 1 i 2 = ∑ i = 1 n ( n − 1 ) ! ( i − 1 ) ( n − i ) ! ( i − 1 ) ! i 2 = ( n − 1 ) ! ∑ i = 1 n 1 ( n − i ) ! ( i − 2 ) ! i 2 = ( n − 1 ) ! ∑ i + j = n n 1 ( i − 2 ) ! i 2 1 j ! \begin{aligned}f_n&=\sum\limits_{i=1}^n\begin{pmatrix}n-1\\i-1\end{pmatrix}\dfrac{1-\dfrac{1}{i}}{i}\\ &=\sum\limits_{i=1}^n\begin{pmatrix}n-1\\i-1\end{pmatrix}\dfrac{i-1}{i^2}\\&= \sum\limits_{i=1}^n\dfrac{\left(n-1\right)!\ \left(i-1\right)}{\left(n-i\right)!\left(i-1\right)!\ i^2}\\&=\left(n-1\right)!\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{\left(n-i\right)!\left(i-2\right)!i^2}\\&=\left(n-1\right)!\sum\limits_{i+j=n}^n\dfrac{1}{\left(i-2\right)!i^2}\dfrac{1}{j!}\end{aligned} fn=i=1∑n(n−1i−1)i1−i1=i=1∑n(n−1i−1)i2i−1=i=1∑n(n−i)!(i−1)! i2(n−1)! (i−1)=(n−1)!i=1∑n(n−i)!(i−2)!i21=(n−1)!i+j=n∑n(i−2)!i21j!1
注意最后 i ≥ 2 i\geq 2 i≥2
可以发现这是一个卷积的形式，可以 n l o g n nlogn nlogn算出来
设 g n g_n gn表示长度为 n n n的区间里的 2 a i a j 2a_ia_j 2aiaj的系数
则有
g n = ∑ i = 2 n ( n − 2 i − 2 ) − 1 i 2 g_n=\sum\limits_{i=2}^n\begin{pmatrix}n-2\\i-2\end{pmatrix}\dfrac{-1}{i^2} gn=i=2∑n(n−2i−2)i2−1
同理可推得
g n = − ( n − 2 ) ! ∑ i + j = n n 1 ( i − 2 ) ! i 2 1 j ! g_n=-\left(n-2\right)!\sum\limits_{i+j=n}^n\dfrac{1}{\left(i-2\right)!i^2}\dfrac{1}{j!} gn=−(n−2)!i+j=n∑n(i−2)!i21j!1
注意 i ≥ 2 i\geq 2 i≥2
f n , g n f_n,g_n fn,gn只有前面的系数不同，把后面弄出来即可
另外，对于一个区间，用线段树维护维护一下 ∑ a i \sum a_i ∑ai和 ∑ a i 2 \sum a_i^2 ∑ai2
C o d e \mathcal{Code} Code
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Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年10月03日 星期四 09时36分57秒
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