教学思考：几何证明分析方法（2）

承接上一篇文章，继续死磕一道题，从中探究几何证明题的分析思路及方法

如下图，在ABC中，∠B= 2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD = AC。

（1）截长法：如下图所示，在线段上截取AE =AB，连接DE，易证ABDAED，此时有EC=AC-AE，BD=DE，若能证明DE=CE，则可证明原结论。

截长法，为什么截取AE=AB，不截取BD呢？对大部分同学来说，或许这不会是一个问题，但若真有同学问呢？其实，截取哪一段，不能空谈，必须根据已有条件分析，在此题中，AD平分∠BAC，这就是一个最大的暗示或事实，对称性，是做辅助线的一种常见方法。如果真的联想不到怎么办？那就一个一个试，错误的那个肯定证不出来。

还有一点，截取AE=AB的同时，也构造了一个证明BD=EC的中间量DE，也就是为什么要连接DE，证明ABD≌AED的原因。对于初学者，这会是一个难点所在，班里的同学在做这道题时，能想到截长，但没有连接DE，然后被困在如何证明BD=EC上。所以，在面对角平分线以及线段中垂线时，能结合对称性联想得到更多的结论，会非常有必要。

如何证明DE=EC，在同一个三角形中，最自然的是等角对等边。如何证等角呢？三角形外角。不得不说，三角形外角定理真的太关键又太隐晦了，学生经常忽视。

（2）补短法1： 如下图所示，延长AB至E，使BD=BE，则AB+BD=AB+BE=AE，此时若能证明AC=AE，则可证明原结论。

欲证线段相等AE=AC，虽然相连，但不在一个三角形中，选择全等三角形来证明（不知道会不会有人连接EC，然后选择等角对等边……脑洞再大一些，会不会真有题要这样做？目前没遇到过）。

存在现成的全等三角形AED与ACD（如何确认？对老师而言非常自然的东西，对学生不一定是。至少眼睛看着像，做几何题，有时候还是需要一些直观能力的）。

目前已知的条件是公共边AD，一组角∠EAD=∠CAD，此时若要增加条件，有两个思路：（1）SAS，需要增加AE=AC，这是待证结论，不可能是判定条件，直接pass；（2）AAS，两个备选，对照已知条件∠ABD=2∠C，联想到通过三角形外角证明∠E=∠C。至此原结论得证。

（3）补短法2：补短法1中，是“和”的思想，将问题转化为求证AE=AC，如果采取“减”的思路，则如下图所示，延长AB至E，使AE=AC，则AE-AB=AC-AB=BE,，此时若能证明BE=BD，则可证明原结论。

同样的辅助线，不同的做法，将问题转化为不同的方向，此方法下的新问题是证明BE=BD，又是证明线段相等，还是在一个三角形中，最常见的思路是等角对等边，问题进一步转化为求证∠E=∠BDE。如何证？这里还是需要用三角形外角定理。考虑到∠E应该等于1/2∠ABC，也就是说，需要证明∠E=∠C。证明角相等的最常用方法还是全等，所以需要证AED≌ACD。

对比补短法1与2，“和”与“减”互逆，换来的证明过程也是反过来的。熟练后，问题应该不大。

（4）补短法3：如下图所示，延长DB至E，使AB=EB，（顺手）连接AE，此时就变成了证明DE=AC。

现在要证的两条线段AC、ED不在同一个三角形中，要么构造三角形，要么找中间量。看到了吧，这就是不按照对称性做辅助线的后果。实际做题中，当然要选择便捷的做法，但此时是为了锻炼思维，所以还是有很意义的。Emmmm，最大的意义就是，做辅助线是有讲究的，不要瞎做。

尝试一下构造全等三角形吧，咋看咋没思路，放弃。但是就真没办法证明吗？其实是有的，请看下图。

图中的∠EAD=∠EDA=∠1+∠3，原来AE=ED，AED是等腰三角形！而∠E=∠C，即AC=AE，于是乎，通过AE这个中间量，将两个线段连到了一起。当我想到这的时候，着实惊奇了一下，几何太神奇了！那我是如何想到的呢？

首先，我对三角形外角定理比较敏感，画出图以后，马上就可以得到∠E=∠EAB=∠1的推论，继而意识到AE=AC（等角对等边），这才想到AE是一个中间量，最终聚焦于∠EAD和∠EDA上。

做完以后，回过头再审视时，发现这其实就是二倍角的一种常见辅助线（还有一种是在三角形内部构造一个角等于∠ABD），得到的结果就是一个对称的等腰三角形（AEC）。这种辅助线方式在解决二倍角问题时，还是很常见的。

回忆上一道题，也有一种方法不是依照对称性做辅助线，得到结果同样比较曲折。再一次感受做辅助线的技巧性。

上一种方法是“和”的思路，那“减”的思路行不行呢？尝试一下。

（5）补短法4：如下图所示，延长DB至E，使ED=AC，求证AB=EB。

思考之后会发现，很多线索都断了，结果无法证明。与补短法1与2的“和”“减”相比，为什么它们就可以都证明，而且复杂程度差不多，但到了补短法3与4这里，就变了呢？变成了一种方法巨复杂，另一种看似近在眼前，但却隔了一层国产防弹玻璃。

再回忆上一道题，也遇到了同样的问题，依照对称性做的辅助线，无论是“和”还是“减”，证明过程都很方便。或许，这就是对称性的巨大威力吧，以后实在没思路了，照着对称性补补画画，说不定会出现奇效呢。

写到这里，可以收尾了。

两道并不算多么难的题目，被自己“搞”成了这个样子，但我认为是有意义的。几何证明题灵活多变，解答思路、辅助线做法有时带点玄乎的感觉，但凡经历过的人都懂。很多时候，看似在讲思路，其实是把题目进行了分类，然后每一类有其稍微固定的套路，美其名曰分析。比如看见中线延长（倍长中线），再比如遇到双倍角该怎么怎么做，还有这两道题的本意——截长补短。

我个人并不满意这样的结果，总觉得还不够，如果都是如此，那对推导能力的锻炼将大打折扣，毕竟未知的领域不会给你分类，更不会给你每一类的套路。如果没有了这个前提，所谓的分析方法，就是个无根之木。

在分析这两道题时，我其实是在有意识地引入新问题：如何证明两条线段相等？先总结可能的方法有哪些，然后根据已有条件去分析、选择，接着将问题一步一步转化。问题转化的方向不都是逆向的，还有正向，甚至两头凑。此外，在思考过程中，不同的辅助线会带来不同的问题转化，继而会产生不一样的后果，或较难的证明过程，或死活同，那么如何针对具体的条件有效地添加辅助线也就被纳入思考之中。

如果再将截长补短法一般化，那就不是只证明两个线段相等的问题，而是多条线段之间的和差关系。这一类问题还有一个镜像问题——如何证明两个角度相等。

我是不赞成把所有的题型分类，然后思考每一类的特点吗？不，我不光赞成，还特别推崇这种思考方式。我所思考的是，这个过程能不能由自己（指学生，但也不排除自己）完成（当然是力所能及的前提下了）。为了自己能够今后能与学生清楚的交流，以证明两条线段相等为例，重新梳理一边。

（1）遇到了证明线段相等的问题；

（2）思考自己都曾遇到过哪些证明线段相等的方法；

（3）看看这道题的已有条件，分析那些不同的方法，选择，继而将问题进行转化；

（4）继续分析转化后的问题，理论上可以从证明线段相等转换成证明其他线段相等，或者证明其他角相等，比如等角对等边中的等角，比如凑全等的其他条件。这有点套娃，但题目绝对有所克制。

（5）思考过程中有没有必要添加辅助线，如何有效地添加辅助线；

（6）最好能够有意识地分析，接触或者思考的多了，就容易发现一些题目存在相似的思考方式，也就是什么样的题型，选择什么样的方法，添加什么样的辅助线。这总比老师直接告诉强多了吧，当然难度也会增大不少；

（7）对学生的难度大，最后的结果不一定好，但这绝不是不思考的理由，只要思考就会有所收获；

（8）对老师的难度大，体现在如何合理的引导学生朝这个方向思考，如何给学生搭建适当的台阶。

以上，自己一些不成熟的想法……