树--哈夫曼树

    前面章节分别学习了树、森林与二叉树的转换、线索二叉树、树、二叉树的基本知识。本节接着学习"哈夫曼树"

     在复杂的if...else或switch...case语句中，判断的次序影响程序执行时间。之前学习过，凡是在某个点有两种互斥结果的均可以使用二叉树来表示。而最优的表示法即哈夫曼表示法。原则上，它通过将最大量置顶构造出一颗"最优树"，即带权路径长度最短

基本概念

    路径：节点之间的连线

    节点的路径长度：节点之间连线的个数（路径的个数）

    树的路径长度：树根到每个节点的路径和，相同节点数的二叉树，完全二叉树的路径长度最短

    权：节点的标识，一般为可计算的数学标识

    节点的带权路径长度：根节点到该节点之间的路径长度与目标节点权值的乘积

    树的带权路径长度：树中所有叶子节点的带权路径长度

    n个叶子节点的哈夫曼树有2n-1个节点，需经过n-1次合并，将产生n-1个新节点，每个节点的度都不为

    1。所构建的哈夫曼树的层级为n-1

构造哈夫曼树

    构造过程（哈夫曼树中权值越大离根越近）

        构造森林，每一颗树都是以权值为根构造的单点树

        构造一颗新二叉树，其左右子树根为最小权值树，该二叉树的根的权值为左右子树根权值的和，              并从森林中删除对应的树

        将二叉树作为森林的成员

    图示如下

        假设有如下一组值,它们代表节点的权值

            [1,3,4,5,8]

        构造森林如下，该森林由一颗颗只有一个根节点的树组成

        构建一颗二叉树，其左右子树根从森林中挑选最小的两个，该颗二叉树的根节点的权值=挑选的权

        值和

         从森林中删除挑选出的两颗树，并将构造的新二叉树入森林，此时森林如下

        继续挑选最小的两颗树，并据此构建一颗二叉树，即

        继续将新二叉树入队森林，并剔除挑选的树，此时森林如下

            重复以上步骤，即挑选5和8组成新二叉树，即

            此时森林如下

            继续以上两部，则最终生成的树如下

    JavaScript实现如下

        由于n个叶子节点的哈夫曼树有2n-1个节点，故对于数组[1,3,4,5,8]的数组大小为9

        节点结构如下

（data为了每次挑选方便增加）

        代码实现如下

            为了方便挑选最小值，先对数组进行一次排序，即

            构建一个具有2n-1个成员的数组，并初始化

            每次从数组中挑选最小的两颗树并构建一颗二叉树，根的权重为挑选的权值和，挑选的树分别

                视为二叉树的左右子树根

            生成的哈夫曼树如下

            完整实现算法如下

哈夫曼编码

    数据的传输是先将数据转换成二进制0和1之后传到目的地后解码，数据量越小传输效率越大。在同样的待传数据中，如何做到最小，正是哈夫曼编码解决的问题

    哈夫曼编码的理论基础为前缀编码，由于叶子节点的特性保证了其不可能为另一叶子节点的双亲，故其任一字符的编码均不是令一字符编码的前缀

    哈夫曼编码的规则如下

        对数据进行概率分析，得到某个字符出现的次数

            若有串"aabca",则a的概率为3，b为1，c为1

        将概率作为权值构造哈夫曼树，在构建过程中生成的二叉树将其左路径标记为0右为1

        从哈夫曼树的根节点到叶子节点的路径标记作为字符编码，则

            a:0  b:10 c:11

    JavaScript实现如下

        假设有字符串：'abcaabac'，则计算的每个字符出现的频率如下

    得到的哈夫曼树如下

    从叶子节点向上查找，按照左0右1标记路径直到哈夫曼树的根，则为该叶子节点的哈夫曼编码。算

        法实现如下

         结果如下