图的基本概念和存储

基本概念

基本概念
    图的定义：图（Graph）一般由两个集合共同构成，一个是非空但是有限的顶点集合V（Vertex），另一个是描述顶点之间连接关系的边集合E（Edge)，边集合可以为空集。G = (V, E)
    端点和邻接点
    顶点的度；入度和出度
    完全图
    子图
    路径
        简单路径
    回路或环

     简单回路=简单路径+回路
    连通、连通图、连通子图和连通分量
    强连通图、强连通分量
    权和网
    连通图的连通分量只有一个（本身），而非连通图的连通分量不止一个；强连通图同理

存储结构

存储结构
    邻接矩阵
        存储元素：1，w，0，无穷
        特点
            唯一性
            对于n个点顶的图，无论有无方向，都需n的平方个存储空间，所以邻接矩阵更适合存储边的数目较多的稠密图
            无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵，可以采用矩阵压缩的思想
            对于无向图，第i行或第i列的非零元素和非无穷元素的个数是顶点i的度数
            对于有向图，第i行（第i列）的非零元素和非无穷元素的个数是顶点i的出度数（入度数）
            判断两个顶点的边是否存在或求取权值的执行效率是O(1)，如果算法需要提取边的权值则建议采用该存储结构
    邻接表
        一种数组和链式相结合的存储方法
        特点
            表示不唯一
            稀疏图更适合使用邻接表而不是邻接矩阵
    逆邻接表
    十字链表
        邻接表与逆邻接表的结合，是有向图的另一种存储结构
        步骤
            1.每个顶点对应一个头节点结果为（data,firstIn,firstOut）
            2.图中的每条边对应一个结点，结构为（起点，终点，起点相同的下一个边结点，终点相同的下一个边结点，边的信息（权值））
            3.构造横向链表
            4.构造纵向列表
        优点：容易找到以v为起点或终点的边，也就是出度和入度
    邻接多重表
        无向图的另一种存储结构，与十字表类似
        步骤
            1.无向图的每个顶点对应一个头节点，结构为（data,firstarc）
            2.每条边对应一个边结点，结构为（mark,i,ikink,j,jlink,weight）,此时边和只有一个边结点
            3.构造链表

图的遍历

图的遍历
    定义：从任意顶点出发，按照某种算法沿着图的边访问图的所有结点，且每个节点只访问一次
    深度优先遍历
        从某个初始点V0出发，首先访问初始点V0，然后选择一个相邻的且没有访问过的点访问，再以该点为初始点进行深度优先遍历，直到与原始顶点V0的所有邻接点访问完为止，总的来说这是一个递归的过程
        时间复杂度
            邻接表：由于要遍历顶点的所有邻接点为O(n+e)
            邻接矩阵：由于要遍历一个顶点的一行数据，为O(n*n)
    广度优先遍历
        首先访问初始节点，接着访问所有未被访问的邻接点，访问每个邻接点后，再访问该邻接点的所有未被访问的邻接点，依此类推
        算法实现类似于二叉树的层次遍历，需要使用队列
        时间复杂度
            邻接表：由于要遍历顶点的所有邻接点为O(n+e)
            邻接矩阵：由于要遍历一个顶点的一行数据，为O(n*n)
    非连通图的遍历
        无向图
            在每个连通分量选择起始点分别进行遍历
        有向图
            重复选择不一样的初始点进行遍历，直到遍历完成
    作用：可以判断该无向图是否连通
    对于无权图来讲，广度遍历一定是最短路径，而深度不一定

生成树

生成树和最小生成树
    主要针对无向图
    生成树
         有N-1 条边（其中N是顶点数）且每个顶点有且仅有一条路径相连，也就是包含原图全部N个顶点的极小连通子图
        任意添加一条边必然构成一个环
        分类
            深度优先生成树
            广度优先生成树
    最小生成子树
        给一个无向图的边都加上权值（网图）现在要求生成树边的权值总和最小
        准则
            1.必须使用原图的边来构造树
            2.必须有且使用n-1条边来连接n个顶点
            3.不能使用产生回路的边
        算法
            普利姆算法
                从任意一个顶点开始，不断成长为一棵树，每次都会选择尽可能小的方向去进行延伸
                时间复杂度为O(n*n),n为顶点个数，所以该算法的执行时间与e边数无关，适合用于稠密图求解最小生成树
            克鲁斯卡尔算法
                核心思想就是主动去选择权值较小的边
                时间复杂度为elog2(e)，所以该算法的执行时间与e边数有关和顶点数无关，适合稀疏图

最短路径

最短路径
    单源最短路径
        狄克斯特拉（Dijkstra）算法
            时间复杂度O(n*n)
    多源最短路路径
        弗洛伊德算法
            时间复杂度O(n*n*n)

关键路径

关键路径
    顶点代表某个任务（事件），活动包括时间用边来表示，将边作为活动的图称为AOE图，每个事件对应着多个活动（多条边）
    定义：在AOE网中，从源点到汇点的所有路径中，具有最大路径长度的路径
    关键路径上的活动称为关键活动，关键活动不存在富裕的时间，而非关键的活动可能存在富裕的的时间

拓扑排序

拓扑排序
    始终由前置条件来解锁后续，所以说整个图中是不可以出现循环的，构建出来的这种图称为有向无环图（DAG），就是个流程图，像这种顶点表示活动或任务的图也称为AOV图
    拓扑排序（Topological Order）是指，将一个有向无环图（Directed Acyclic Graph）进行排序进而得到一个有序的线性序列
    步骤
        1.在有向图中找到入度为零的点输出
        2.从图中删除该点和该点出发的所有有向边
        3.重复上述两步，直到剩余图中不存在没有前驱的顶点
    具体实现可以使用队列来写代码

实现代码：数据结构与算法: 记录学习笔记，包括代码和思维导图