华中农业大学2023年十二届程序设计竞赛（同步赛）G. 简单的开关(思维 括号匹配+差分+前缀和 set/珂朵莉树)

题目

小夏有一台神奇的计算机，这个计算机有n个开关，初始状态均为关，

接下来，小夏想对这台计算机进行m次操作，每次操作给出三个数l,r,k,

表示将第l个(含l)到第r个(含r)开关的状态设置为开或者关(k=0表示关、k=1表示开)

m次操作完之后，小夏想知道这台计算机中，

有多少个区间满足开启状态开关的个数等于关闭状态开关的个数

思路来源

heltion代码

题解

先离散化，配合set乱搞（可用时间逆序+set二分，或用珂朵莉树），将序列分成若干个0、1区间

01区间开关个数相等，

可以把1看成(，遇到(就+1，把0看成是)，遇到)就-1，

从而转化为前缀值域相等的问题，

每一段区间[l,r)，记录区间开始的前缀和值和区间终止时的前缀和值，

再按照值域差分，每一个区间对应区间加1，最后统计每段值域的出现次数

对于某一段值域[l,r)，其中的每个值的出现次数都相等，

设出现次数为x，则C(x,2)就能找到两个合法端点L-1和R，确定题目所求区间[L,R]

partial_sum(sum.begin(), sum.end(), sum.begin()); // 对sum数组做前缀和，并保存到sum内

代码1（时间逆序+差分+前缀和）

#include 
using namespace std;
using LL = long long;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector l(m), r(m), k(m);
    set s;
    s.insert(1);
    s.insert(n + 1);
    for (int i = 0; i < m; i += 1) {
        cin >> l[i] >> r[i] >> k[i];
        s.insert(l[i]);
        s.insert(r[i] + 1);
    }
    set> sp;
    for (auto it = s.begin(); next(it) != s.end(); it = next(it)) {
        sp.emplace(*it, *next(it));
    }
    set> st;
    for (int i = m - 1; i >= 0; i -= 1) {
        for (auto it = sp.lower_bound(make_pair(l[i], 0));
             it != sp.end() and it->first <= r[i]; it = sp.erase(it)) {
            st.emplace(it->first, it->second, k[i]);
        }
    }
    for (auto [l, r] : sp) {
        st.emplace(l, r, 0);
    }
    vector> vp;
    vp.emplace_back(0, 1);
    int cur = 0;
    for (auto [l, r, k] : st) {
        if (k) {
            vp.emplace_back(cur + 1, cur + r - l + 1);
            cur += r - l;
        } else {
            vp.emplace_back(cur + l - r, cur);
            cur += l - r;
        }
    }
    vector x;
    for (auto [l, r] : vp) {
        x.emplace_back(l);
        x.emplace_back(r);
    }
    sort(x.begin(), x.end());
    x.erase(unique(x.begin(), x.end()), x.end());
    vector sum(x.size());
    for (auto [l, r] : vp) {
        sum[lower_bound(x.begin(), x.end(), l) - x.begin()] += 1;
        sum[lower_bound(x.begin(), x.end(), r) - x.begin()] -= 1;
    }
    partial_sum(sum.begin(), sum.end(), sum.begin());
    LL ans = 0;
    for (int i = 0; i + 1 < x.size(); i += 1) {
        ans += (LL)sum[i] * (sum[i] - 1) / 2 * (x[i + 1] - x[i]);
    }
    cout << ans;
}

代码2（珂朵莉树+差分+前缀和）

后面的逻辑相同，前面的区间覆盖用珂朵莉树维护

1. split将包含x的区间[l,r)拆成两个区间[l,x)和[x,r)

2. assign将[l,r]内的每个区间删掉，合并为同一个[l,r]，赋值为k

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    map mp;
    mp[1] = 0;
    mp[n + 1] = 0;
    
    auto split = [&](int x) {
        auto it = prev(mp.upper_bound(x));
        mp[x] = it->second;
    };

    auto assign = [&](int l, int r, int k) {
        split(l);
        split(r + 1);
        auto it = mp.find(l);
        while (it->first != r + 1) {
            it = mp.erase(it);
        }
        mp[l] = k;
    };

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int l, r, k;
        cin >> l >> r >> k;
        assign(l, r, k);
    }
    
    vector> a;
    a.push_back({0, 1});
    int cur = 0;
    for (auto it = mp.begin(); it != prev(mp.end()); it++) {
        auto &[u, v] = *it;
        int l = u;
        int r = next(it)->first;
        int k = v;
        if (k) {
            a.push_back({cur + 1, cur + (r - l) + 1});
            cur += (r - l);
        } else {
            a.push_back({cur - (r - l), cur});
            cur -= (r - l);
        }
    }    
    
    vector b;
    for (auto &[l, r] : a) {
        b.push_back(l);
        b.push_back(r);
    }
    sort(b.begin(), b.end());
    b.erase(unique(b.begin(), b.end()), b.end());
    
    int N = b.size();
    vector pre(N);
    for (auto &[l, r] : a) {
        pre[lower_bound(b.begin(), b.end(), l) - b.begin()]++;
        pre[lower_bound(b.begin(), b.end(), r) - b.begin()]--;
    }
    
    for (int i = 0; i + 1 < N; i++) {
        pre[i + 1] += pre[i];
    }
    
    i64 ans = 0;
    for (int i = 0; i + 1 < N; i++) {
        ans += pre[i] * (pre[i] - 1) / 2 * (b[i + 1] - b[i]);
    }
    cout << ans << '\n';

    return 0;
}