(贪心) 剑指 Offer 14- I. 剪绳子 ——【Leetcode每日一题】

❓剑指 Offer 14- I. 剪绳子

难度：中等

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n > 1 并且 m > 1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

• 2 <= n <= 58

注意：本题与 343. 整数拆分 相同。

思路：贪心

尽可能得多剪长度为 3 的绳子，并且不允许有长度为 1 的绳子出现。
（如果出现了，就从已经切好长度为 3 的绳子中拿出一段与长度为 1 的绳子重新组合，把它们切成两段长度为 2 的绳子。）以下为证明过程：

• 将绳子拆成 1 和 n-1，则 1(n-1) - n = -1 < 0，即拆开后的乘积一定更小，所以不能出现长度为 1 的绳子。
• 将绳子拆成 2 和 n-2，则 2(n-2) - n = n - 4，在 n >= 4 时这样拆开能得到的乘积会比不拆更大。
• 将绳子拆成 3 和 n-3，则 3(n-3) - n = 2n - 9，在 n >= 5 时效果更好。
• 将绳子拆成 4 和 n-4，因为 4=2 * 2，因此效果和拆成 2 一样。
• 将绳子拆成 5 和 n-5，因为 5=2+3，而 5<2*3，所以不能出现 5 的绳子，而是尽可能拆成 2 和 3。
• 将绳子拆成 6 和 n-6，因为 6=3+3，而 6<3*3，所以不能出现 6 的绳子，而是拆成 3 和 3。这里 6 同样可以拆成 6=2+2+2，但是 3(n - 3) - 2(n - 2) = n - 5 >= 0，在 n>=5 的情况下将绳子拆成 3 比拆成 2 效果更好。
• ...

继续拆成更大的绳子可以发现都比拆成 2 和 3 的效果更差，因此我们只考虑将绳子拆成 2 和 3，并且优先拆成 3，当拆到绳子长度 n 等于 4 时，也就是出现 3+1，此时只能拆成 2+2。

代码：(C++、Java)

C++

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        if(n == 2) return 1;
        if(n == 3) return 2;
        if(n == 4) return 4;
        int ans = 1;
        while(n >= 5){
            ans *= 3;
            n -= 3;
        }
        return ans * n;
    }
};

Java

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n == 2) return 1;
        if(n == 3) return 2;
        if(n == 4) return 4;
        int ans = 1;
        while(n >= 5){
            ans *= 3;
            n -= 3;
        }
        return ans * n;
    }
}

运行结果：

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(log3n)$。
• 空间复杂度：$O(1)$，只需要使用常数复杂度的额外空间。

题目来源：力扣。

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