2023华数杯数学建模B题

不透明制品最优配色方案设计

        日常生活中五彩缤纷的不透明有色制品是由着色剂染色而成。因此，不透明 制品的配色对其外观美观度和市场竞争力起着重要作用。然而，传统的人工配色 存在一定的局限性，如主观性强、效率低下等。因此，研究如何通过计算机方法 来实现不透明制品的配色具有重要意义。

        光通过物体传播有吸收、反射和透射三种方式。对于不透明制品来说，大部 分光线会被其表面吸收或反射。吸收和反射的光线在经过透明度等校正后按波长 分解成不同的颜色成分，形成光谱图。该光谱图通常由 400--700nm 波段的各色 光组成。为简化计算，最终配色后的颜色的反射率以 20nm 为间隔的光谱数据来 表示。对于不透明材料而言，吸收系数 K/散射系数 S 的比值与反射率 R 之间存 在一定关系，具体请参考文献【1】《计算机配色理论及算法的研究》中的 K-M 光学模型。

        基于光学模型得到的颜色参数，可应用于色差的计算。通常，使用色差（不 超过1）来作为配色效果好坏的标准。色差计算方法参考文献【2】《基于 CIELAB 均匀颜色空间和聚类算法的混纺测色研究》中的 CIELAB 色彩空间的总色差计 算方法。其中颜色参数 L*(明度)、a*(红绿色度)和 b*（黄蓝色度）计算中出现 的三刺激值 XYZ 的计算方法如下：

         不透明制品配色问题，就是基于光学模型，设计不透明制品的配色模型。相 较于人工配色，节省大量人力、物力和财力，对减少能耗具有重要意义。

        针对某一不透明制品，已知红、黄、蓝 3 种着色剂在不同浓度不同波长的 K/S 值以及基底材料在不同波长下的 K/S 值，见附件 2。其中，浓度=着色剂克 重/基材重量。每个着色剂的吸收系数 K/散射系数 S 的比值具有加和性，详见文 献【1】《计算机配色理论及算法的研究》中的 K-M 单常数理论。现有 10 个目标样(二到三种着色剂混合制成)的 R 值，见附件 3。结果展示请保留 4 位小数。

请建立数学模型解决如下几个问题：

问题 1：请分别计算附件 2 中三种着色剂在不同波长下 K/S 与浓度的关系， 并将关系式与拟合系数填写在表格中。

问题 2：请建立不透明制品配色的优化模型。在已知目标样的 R 值（附件 3）的前提下，基于光谱三刺激值加权表（附件 1）与着色剂 K/S 基础数据库（附件 2），运用优化模型配出与目标样的色差最为接近的 10 个不同配方，要求色差小于1。

问题 3：在问题 2 的基础上，考虑成本控制和批量配色，改进配色模型。对 2kg 的基底材料进行配色，求出与目标样（附件 3）之间色差最为接近的 10 个不同配方，要求色差小于 1。色母粒单位克重价格见附件4。

问题 4：在实际生产中，配色所需要的着色剂越少越好，基于此，在问题 3 的基础上，寻找附件 3 中前 5 个样本的最优的配色方案，要求每个样本配出 5 个不同的配方且色差小于1。

提供的数据和资料：

1.附件 1（光谱三刺激值加权表）

2.附件 2（不同浓度不同波长的 K/S 值）

3.附件 3（10 个样品的 R 值）

4.附件 4（染料价格）

5.参考文献【1】 姜鹏飞. 计算机配色理论及算法的研究[D/OL]. 中原工学院, 2016.

6.参考文献【2】 王林吉. 基于 CIELAB 均匀颜色空间和聚类算法的混纺测色 研究[D]. 浙江理工大学, 2011.

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