树、二叉树、哈夫曼树、B树、B+树、红黑树相关计算

树

1. 树中的节点数等于所有节点的度数之和+1（一个节点的孩子个数称为该节点的度）
2. 度为m的树中第i层上至多有$m^{i-1}$个节点
3. 高度为h的m叉树至多有$\frac{m^h-1}{m-1}$个节点
4. 具有n个节点的m叉树的最小高度是$\lceil lo{g}_m(n(m-1)+1)\rceil$
5. 度为m的树中，设度为k的节点个数为$n_k$，则树中叶子节点个数为${\sum }_{k=1}^m(k-1)n_k+1$（$n_0+n_1+...+n_m=1n_1+2n_2+...+m{n}_m+1$，即节点个数=所有节点的度数之和+1=边的个数+1）

二叉树

1. 满二叉树定义：高度为h，且含有$2^h-1$个节点的二叉树（除叶节点外每个节点度数均为2）。若根节点从1开始编号，对于编号i的节点，若有双亲，则双亲为$\lfloor \frac{i}{2}\rfloor$；若有左孩子，则左孩子为2i；若有右孩子，则右孩子为2i+1
2. 非空二叉树上的叶节点数等于度为2的节点数+1，即$n_0=n_2+1$
3. 对完全二叉树按从上到下、从左到右的顺序依次编号1，…，n，有以下关系：
   • 当$i>1$时，节点i的双亲的编号为$\lfloor \frac{i}{2}\rfloor$
   • 当$2i\le n$时，节点i的左孩子编号为2i，否则无左孩子
   • 当$2i+1\le n$时，节点i的右孩子编号为$2i+1$，否则无右孩子
   • 节点i所在层次（深度）为$\lfloor lo{g}_{2}i\rfloor +1$
4. 具有n个节点的完全二叉树的高度为$\lceil lo{g}_2(n+1)\rceil$或$\lfloor lo{g}_{2}n\rfloor +1$
5. 若$i\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$，则节点i为分支节点（节点$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$是编号最大的分支节点），否则为叶子结点
6. 含有n个节点的二叉树必定存在n+1个空链域（n个节点共有$2n$个链域），除了根节点以外的每个节点（n-1个）都向上引出一条边（链域），因此空链域一共有$2n-(n-1)=n+1$个
7. 含有n个节点的二叉树最多有$\frac{C_{2n}^n}{n+1}=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}$种形态（记住即可），等价说法：
   • 对于n个不同元素进栈，出栈序列的个数为$\frac{C_{2n}^n}{n+1}$
   • （前序序列和中序序列的关系相当于以前序序列为入栈次序，以中序序列为出栈次序）
8. 平衡二叉树的深度与节点个数之间的极限关系：
   考虑深度为h的平衡二叉树的最小节点数（或称为含有xx个节点的平衡二叉树的最大深度）：$C_h=C_{h-1}+C_{h-2}+1，C_1=1，C_2=2$，其中$C_h$为高度为h的平衡二叉树的最少节点个数
   由此可得，$C_3=4,C_4=7,C_5=12,C_6=20$，即含有20个节点的平衡二叉树的最大深度为6，具有五层节点的AVL树至少有12个节点

哈夫曼树

1. 若哈夫曼树中有$n_0$个叶节点，则总共有 $2\times n_0-1$ 个节点，且度为2的节点数为$n_0-1$
   • 思路：每次归并，少了两个节点，多出一个非叶子节点，整体节点数-1。最后归并结果是剩下一个节点（根节点），所以是归并了n-1次。因此最终的非叶子节点是n-1个
2. 若度为m的哈夫曼树中，叶子节点个数为n，则非叶子节点的个数为$\lceil \frac{n-1}{m-1}\rceil$
   • 思路：类似上述思路，每次归并，少了m个节点，多出一个非叶子节点，整体节点数-1。最后归并结果是剩下一个根节点，所以是归并了$\lceil \frac{n-1}{m-1}\rceil$次，因此最终的非叶子节点数也是$\lceil \frac{n-1}{m-1}\rceil$个

B树

1. 除根节点外的所有非叶节点至少有$\lceil \frac{m}{2}\rceil$棵子树，即至少含有$\lceil \frac{m}{2}\rceil -1$个关键字
2. n个关键字的B树必有n+1个叶子节点（n个关键字将数域切分成n+1个区间）
3. 含有n个关键字的m阶B树，树的高度h满足：$lo{g}_m(n+1)\le h\le lo{g}_{\lceil \frac{m}{2}\rceil }\frac{n+1}{2}+1$
   • 最小高度：让每个节点尽可能满（即有m-1个关键字，m个分叉）。即 $n\le (m-1)(1+m+m^2+...+m^{h-1})=m^h-1$
   • 最大高度：让每个节点尽可能空（即根节点只有1个关键字，其他节点只有$\lceil \frac{m}{2}\rceil -1$个关键字、$\lceil \frac{m}{2}\rceil$个分叉）。即第一层1个节点，第二层2个，第三层$2\lceil \frac{m}{2}\rceil$个…第h层$2(\lceil \frac{m}{2}\rceil {)}^{h-2}$个。由于n个关键字的B树必有n+1个叶子节点，因此有$n+1\ge 2(\lceil \frac{m}{2}\rceil {)}^{h-1}$，即$h\le lo{g}_{\lceil \frac{m}{2}\rceil }\frac{n+1}{2}+1$

红黑树

1. 从根节点到叶节点的所有路径中，最长路径不会超过最短路径的两倍（保证红黑树大致上是平衡的）
2. 具有n个内部节点的红黑树高度不超过$2lo{g}_2(n+1)$
3. 在一个黑高是k的红黑树中，内部节点最多有$2^{2k}-1$个（即红黑节点相间隔情形），最少是$2^k-1$个节点
4. 具有n个关键字的红黑树中红的内部节点数与黑的内部节点数之比最大是2：1
5. 插入n（n>1）个节点形成的红黑树，至少有1个红节点