线性代数复习公式整理(自用/持续更新)

第一章 行列式

设A、B为n阶矩阵

∣ A T ∣ = ∣ A ∣ \left | A^T \right | =\left | A \right | ​AT ​=∣A∣

$$\left|A^m\right|={\left|A\right|}^m$$

$$\left|kA\right|=k^n\left|A\right|$$

$$\left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|$$

若 A 可逆，则 ∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ 若A可逆，则\left | A^{-1} \right | =\frac{1}{\left | A\right | } 若A可逆，则 ​A−1 ​=∣A∣1​

$$\left|A^{\ast }\right|={\left|A\right|}^{n-1}$$

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=\left|A\right|E$$

$$A^{\ast }=\left|A\right|A^{-1}(若A可逆)$$

$$A=\left|A\right|(A^{\ast }{)}^{-1}$$

∣ A 1 A 2 A 3 ∣ = A 1 A 2 A 3 , ∣ A 1 A 2 A 3 ∣ = − A 1 A 2 A 3 \begin{vmatrix}A_1 & & \\ & A_2 & \\ & &A_3 \end{vmatrix}=A_1A_2A_3, \begin{vmatrix} & &A_1 \\ & A_2 & \\A_3 & & \end{vmatrix}=-A_1A_2A_3 ​A1​​A2​​A3​​ ​=A1​A2​A3​, ​A3​​A2​​A1​​ ​=−A1​A2​A3​

设A为n阶矩阵，B为m阶矩阵，根据拉普拉斯展开定理有

∣ A 0 0 B ∣ = ∣ A C 0 B ∣ = ∣ A 0 C B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ \begin{vmatrix}A & 0\\0 &B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A & C\\0 &B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A & 0\\C &B \end{vmatrix}=\left | A \right | \left | B \right | ​A0​0B​ ​= ​A0​CB​ ​= ​AC​0B​ ​=∣A∣∣B∣

∣ 0 A B 0 ∣ = ∣ C A B 0 ∣ = ∣ 0 A B C ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ∣ B ∣ \begin{vmatrix}0 & A\\B &0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}C & A\\B &0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0 & A\\B &C \end{vmatrix}=(-1)^{mn}\left | A \right | \left | B \right | ​0B​A0​ ​= ​CB​A0​ ​= ​0B​AC​ ​=(−1)mn∣A∣∣B∣

化“叉”型行列式

∣ a 0 . . . 0 b . . . A . . . c 0 . . . 0 d ∣ = ( a d − b c ) ∣ A ∣ , 其中 A 是方阵 , 且除了主对角线和副对角线以外其余所有的元素均为 0 \begin{vmatrix} a& 0& ...& 0&b \\ ...& & A& &... \\ c& 0 & ... &0 &d \end{vmatrix}=(ad-bc)\left | A \right | ,其中A是方阵,且除了主对角线和副对角线以外其余所有的元素均为0 ​a...c​00​...A...​00​b...d​ ​=(ad−bc)∣A∣,其中A是方阵,且除了主对角线和副对角线以外其余所有的元素均为0

化“ab”型行列式

∣ a b b . . . b b a b . . . b b b a . . . b . . . . . . . . . . . . b b b b . . . a ∣ = [ a + ( n − 1 ) b ] ( a − b ) n − 1 \begin{vmatrix} a& b& b& ...&b \\ b& a& b& ...&b \\ b& b& a& ...&b \\ ...& ...& ...& ...&b \\ b& b& b& ...&a \end{vmatrix}=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1} ​abb...b​bab...b​bba...b​...............​bbbba​ ​=[a+(n−1)b](a−b)n−1

特征值求行列式

$$若题干可求得矩阵A的所有特征值{\lambda }_1,{\lambda }_2...,{\lambda }_n,那么立即有\left|A\right|={\lambda }_1{\lambda }_2...{\lambda }_n$$

第二章 矩阵

矩阵转置的性质

$$(A^T{)}^T=A$$

$$(kA{)}^T=k{A}^T$$

$$(A\pm B{)}^T=A^T\pm B^T$$

$$(AB{)}^T=B^T{A}^T$$

$$(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$$

$$(A^T{)}^m=(A^m{)}^T$$

矩阵伴随的性质

$$A^{\ast }=\left|A\right|A^{-1}(若A可逆)$$

$$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}{A}^{\ast }$$

$$(A^T{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^T$$

$$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$$

$$(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$$

$${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$