【LeetCode 算法】Minimum Falling Path Sum II 下降路径最小和 II-动态规划

Minimum Falling Path Sum II 下降路径最小和 II

问题描述：

给你一个 n x n 整数矩阵 grid ，请你返回 非零偏移下降路径 数字和的最小值。

非零偏移下降路径 定义为：从 grid 数组中的每一行选择一个数字，且按顺序选出来的数字中，相邻数字不在原数组的同一列。

$$\begin{gathered} n==grid.length==grid[i].length \\ 1<=n<=200 \\ -99<=grid[i][j]<=99 \end{gathered}$$

分析

暴力递归可以处理，同样的DP也可以处理

定义$f[i][j]$ 表示在选到第$i+1$行的第$j$列的元素时，可以得到的最小路径和。
$$f[i][j]=min(f[i-1][k]+a[i][j]),k!=j$$

代码

DP

class Solution {
     
    public int minFallingPathSum(int[][] grid) {
        int n = grid.length; 
        int INF = 1<<30;
        int[][] f = new int[n][n]; 
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            Arrays.fill(f[i],INF);
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            f[0][i] = grid[0][i];
        }
        int ans = INF;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                for (int k = 0; k < n; k++) {
                    if(k==j)continue;
                    f[i][j] = Math.min(f[i][j],f[i-1][k]+grid[i][j]);
                } 
            }
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if(ans>f[n-1][i]) ans = f[n-1][i];
        }
        return ans;
    } 
}

时间复杂度$O(N^3)$

空间复杂度$O(N^2)$

Tag

Matrix

Dynamic Programming