初等变换和广义初等变换——例题部分

接续：初等变换和广义初等变换——要点部分

三、例题

1. 初等变换的应用

【例 1】将矩阵$A$的第$2$行的$-3$倍加到第$1$行得到矩阵$B$，然后将矩阵$B$的第$1$列的$2$倍加到第$3$列得到数量矩阵$5E$，求矩阵$A$。

【解】设矩阵 A = [ α 1 α 2 α 3 ] A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] A= ​α1​α2​α3​​ ​，其中${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为行向量，则矩阵 B = [ α 1 − 3 α 2 α 2 α 3 ] = [ 1 − 3 0 0 1 0 0 0 1 ] [ α 1 α 2 α 3 ] B = \left[ \begin{matrix} \alpha_1-3\alpha_2 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] B= ​α1​−3α2​α2​α3​​ ​= ​100​−310​001​ ​ ​α1​α2​α3​​ ​，所以变换矩阵 P = [ 1 − 3 0 0 1 0 0 0 1 ] P = \left[ \begin{matrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] P= ​100​−310​001​ ​。根据初等变换矩阵的性质可得 P − 1 = [ 1 3 0 0 1 0 0 0 1 ] P^{-1} = \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] P−1= ​100​310​001​ ​。

设矩阵$B=({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)$，其中${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$为列向量，则矩阵 C = ( β 1 , β 2 , β 3 + 2 β 1 ) = ( β 1 , β 2 , β 3 ) [ 1 0 2 0 1 0 0 0 1 ] C = (\beta_1,\beta_2,\beta_3+2\beta_1) = (\beta_1,\beta_2,\beta_3) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] C=(β1​,β2​,β3​+2β1​)=(β1​,β2​,β3​) ​100​010​201​ ​，所以变换矩阵 Q = [ 1 0 2 0 1 0 0 0 1 ] Q = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] Q= ​100​010​201​ ​。根据初等变换矩阵的性质可得 Q − 1 = [ 1 0 − 2 0 1 0 0 0 1 ] Q^{-1} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] Q−1= ​100​010​−201​ ​。

由题意得$PAQ=5E$，则矩阵 A = 5 P − 1 Q − 1 = 5 [ 1 3 0 0 1 0 0 0 1 ] [ 1 0 − 2 0 1 0 0 0 1 ] = 5 [ 1 3 − 2 0 1 0 0 0 1 ] A = 5P^{-1}Q^{-1} =5 \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] = 5 \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] A=5P−1Q−1=5 ​100​310​001​ ​ ​100​010​−201​ ​=5 ​100​310​−201​ ​。

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若是通过初等变换求矩阵的秩，由于初等行变换和初等列变换均不改变原矩阵的秩，所以初等行、列变换可以混合使用。

【例 2】设 A = [ a b b b a b b b a ] A=\left[ \begin{matrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{matrix} \right] A= ​abb​bab​bba​ ​，已知$r(A^{\ast })+r(A)=3$，求$a,b$应该满足的关系。

【解】由$r(A^{\ast })+r(A)=3$易知：$r(A)=2,r(A^{\ast })=1$，接下来对$A$进行初等变换：

[ a b b b a b b b a ] → r 1 + r 2 , r 1 + r 3 [ a + 2 b a + 2 b a + 2 b b a b b b a ] → c 2 − c 1 , c 3 − c 1 [ a + 2 b 0 0 b a − b 0 b 0 a − b ] \begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{matrix} \right] \xrightarrow{r_1+r_2,r_1+r_3} \left[ \begin{matrix} a+2b & a+2b & a+2b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{matrix} \right] \\ &\xrightarrow{c_2-c_1,c_3-c_1} \left[ \begin{matrix} a+2b & 0 & 0 \\ b & a-b & 0 \\ b & 0 & a-b \end{matrix} \right] \end{aligned} ​ ​abb​bab​bba​ ​r1​+r2​,r1​+r3​ ​ ​a+2bbb​a+2bab​a+2bba​ ​c2​−c1​,c3​−c1​ ​ ​a+2bbb​0a−b0​00a−b​ ​​

因为$r(A)<3$，所以有$|A|=(a+2b)(a-b{)}^2=0$。若$a-b=0$，则$r(A)=1$，不符合题意，所以$a-b\ne 0$且$a+2b=0$。

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2. 应用于矩阵的秩

【例 1】设矩阵$A$和$B$均为$n$阶矩阵，证明：$r(A,AB)=r\left(\begin{array}{c}A\\ BA\end{array}\right)=r(A)$。

【证明】（1）先证明$r(A,AB)=r(A)$：

由广义初等变换得：$(A,AB)\stackrel{c_2-c_{1}B}{}(A,O)$，且变换矩阵可逆，说明$r(A,AB)=r(A,O)=r(A)$。

（2）再证明$r\left(\begin{array}{c}A\\ BA\end{array}\right)=r(A)$：

由广义初等变换得：$\left(\begin{array}{c}A\\ BA\end{array}\right)\stackrel{r_2-B{r}_1}{}\left(\begin{array}{c}A\\ O\end{array}\right)$，且变换矩阵可逆，说明$r\left(\begin{array}{c}A\\ BA\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}A\\ O\end{array}\right)=r(A)$。

综上有：$r(A,AB)=r\left(\begin{array}{c}A\\ BA\end{array}\right)=r(A)$。

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【例 2】设矩阵$A$和$B$均为$m\times n$阶矩阵，证明：$r\left(\begin{array}{c}A+B\\ A-B\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$。

【证明】由广义初等变换得：

$$\left(\begin{array}{c}A+B\\ A-B\end{array}\right)\stackrel{r_1+E{r}_2}{}\left(\begin{array}{c}2A\\ A-B\end{array}\right)\stackrel{r_2-\frac{1}{2}E{r}_1}{}\left(\begin{array}{c}2A\\ -B\end{array}\right)\stackrel{\frac{1}{2}E{r}_1,(-E)r_2}{}\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$$

其中，第一次和第二次的广义消法变换不会改变秩，第三次的广义倍法变换可能会改变原矩阵的秩，因此考查第三次变换的情况。

第三次的广义倍法变换矩阵为$\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}E& O\\ O& -E\end{array}\right]$，其行列式不为$0$，说明该变换矩阵可逆，不会改变原矩阵的秩。

因此得证：$r\left(\begin{array}{c}A+B\\ A-B\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$。

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【例 3】设矩阵$A$和$B$均为$m\times n$阶矩阵，证明：$r(A+B)\le r\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right),r(A+B)\le r(A,B)$。

【证明】（1）证明$r(A+B)\le r\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$：

由广义初等变换得：$\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)\stackrel{r_1+E{r}_2}{}\left(\begin{array}{c}A+B\\ B\end{array}\right)$，其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：$r\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{c}A+B\\ B\end{array}\right)\ge r(A+B)$，得证。

（2）证明$r(A+B)\le r(A,B)$：

由广义初等变换得：$(A,B)\stackrel{c_1+c_{2}E}{}(A+B,B)$，其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：$r(A,B)=r(A+B,B)\ge r(A+B)$，得证。

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【例 4】设$A,B$为$n$阶实矩阵，下列不成立的是（ ）

（A）$r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A^{T}A\end{array}\right)=2r(A)$

（B）$r\left(\begin{array}{cc}A& AB\\ O& A^T\end{array}\right)=2r(A)$

（C）$r\left(\begin{array}{cc}A& BA\\ O& A{A}^T\end{array}\right)=2r(A)$

（D）$r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ BA& A^T\end{array}\right)=2r(A)$

【解】A 项，运用性质$r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=r(A)+r(B)$可知，$r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A^{T}A\end{array}\right)=r(A)+r(A^T)=2r(A)$，结论正确。

B 项，由广义初等变换得：$\left(\begin{array}{cc}A& AB\\ O& A^T\end{array}\right)\stackrel{c_2-c_{1}B}{}\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A^T\end{array}\right)$，其变换不改变原矩阵的秩，所以有：$r\left(\begin{array}{cc}A& AB\\ O& A^T\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A^T\end{array}\right)=2r(A)$，结论正确。

D 项，由广义初等变换得：$\left(\begin{array}{cc}A& O\\ BA& A^T\end{array}\right)\stackrel{r_2-B{r}_1}{}\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A^T\end{array}\right)$，其变换不改变原矩阵的秩，所以有：$r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ BA& A^T\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A^T\end{array}\right)=2r(A)$，结论正确。

由排除法知 C 项结论错误。注意，对于该项，有人通过列变换$c_2-B{c}_1$得到结论，这是错误的，因为列变换不能左乘矩阵$B$，所以是得不到该结论的！

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以下几题都是利用性质$r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=r(A)+r(B)$和性质$r\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)\ge r(A)+r(B)$来构建矩阵，然后作广义初等变换得到待证结论。

【例 5】$A,B,C$分别是$m\times n,n\times f,f\times g$矩阵，证明：$r(AB)+r(BC)\le r(B)+r(ABC)$。

【证明】由$r(B)+r(ABC)$联想并构造矩阵$\left(\begin{array}{cc}ABC& O\\ O& B\end{array}\right)$，对其作广义初等变换得

$$\left(\begin{array}{cc}ABC& O\\ O& B\end{array}\right)\stackrel{r_1+A{r}_2}{}\left(\begin{array}{cc}ABC& AB\\ O& B\end{array}\right)\stackrel{c_1-c_{2}C}{}\left(\begin{array}{cc}O& AB\\ -BC& B\end{array}\right)$$

其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：$r(B)+r(ABC)=r\left(\begin{array}{cc}ABC& O\\ O& B\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{cc}O& AB\\ -BC& B\end{array}\right)\ge r(AB)+r(BC)$，得证。

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【例 6】$A,C$分别是$m\times n,n\times f$矩阵，证明：$r(A)+r(C)\le n+r(AC)$。

【证明】由$n+r(AC)=r(E)+r(AC)$联想并构造矩阵$\left(\begin{array}{cc}AC& O\\ O& E\end{array}\right)$，对其作广义初等变换得

$$\left(\begin{array}{cc}AC& O\\ O& E\end{array}\right)\stackrel{r_1+A{r}_2}{}\left(\begin{array}{cc}AC& A\\ O& E\end{array}\right)\stackrel{c_1-c_{2}C}{}\left(\begin{array}{cc}O& A\\ -C& E\end{array}\right)$$

其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：$n+r(AC)=r\left(\begin{array}{cc}AC& O\\ O& E\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{cc}O& A\\ -C& E\end{array}\right)\ge r(A)+r(C)$，得证。

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【例 7】$A,C$是$m\times n$矩阵，$B,D$是$n\times f$矩阵，证明：$r(AB-CD)\le r(A-C)+r(B-D)$。

【证明】待证结论可化为$r[(AB-AD)+(AD-CD)]\le r(A-C)+r(B-D)$，由此联想并构造矩阵$\left(\begin{array}{cc}A-C& O\\ O& B-D\end{array}\right)$，对其作广义初等变换得

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cc}A-C& O\\ O& B-D\end{array}\right)\stackrel{r_1+A{r}_2}{}\left(\begin{array}{cc}A-C& AB-AD\\ O& B-D\end{array}\right)\\ & \stackrel{c_2+c_{1}D}{}\left(\begin{array}{cc}A-C& AB-CD\\ O& B-D\end{array}\right)\end{array}$$

其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：

$$\begin{array}{rl}r(A-C)+r(B-D)& =r\left(\begin{array}{cc}A-C& O\\ O& B-D\end{array}\right)\\ & =r\left(\begin{array}{cc}A-C& AB-CD\\ O& B-D\end{array}\right)\\ & \ge r(A-C,AB-CD)\\ & \ge r(AB-CD)\end{array}$$

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【例 8】$A,B$是$n$阶方阵，$E$是$n$阶单位阵，证明：$r(AB-E)\le r(A-E)+r(B-E)$。

【证明】由$r(A-E)+r(B-E)$联想并构造矩阵$\left(\begin{array}{cc}A-E& O\\ O& B-E\end{array}\right)$，对其作广义初等变换得

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cc}A-E& O\\ O& B-E\end{array}\right)\stackrel{r_1+A{r}_2}{}\left(\begin{array}{cc}A-E& AB-A\\ O& B-E\end{array}\right)\\ & \stackrel{c_2+c_1}{}\left(\begin{array}{cc}A-E& AB-E\\ O& B-E\end{array}\right)\end{array}$$

其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：

$$\begin{array}{rl}r(A-E)+r(B-E)& =r\left(\begin{array}{cc}A-E& O\\ O& B-E\end{array}\right)\\ & =r\left(\begin{array}{cc}A-E& AB-E\\ O& B-E\end{array}\right)\\ & \ge r(A-E,AB-E)\\ & \ge r(AB-E)\end{array}$$

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有时，为了使用性质$r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=r(A)+r(B)$和性质$r\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)\ge r(A)+r(B)$，需要将原矩阵$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$通过广义初等变换转化为$\left(\begin{array}{cc}{A}^{\prime }& B^{\prime }\\ O& D^{\prime }\end{array}\right)$的形式。

【例 9】$A,B,C,D$分别是$n\times n,f\times g,n\times g,f\times n$的矩阵，$A$可逆，证明：若$r\left(\begin{array}{cc}A& C\\ D& B\end{array}\right)=n$，则$B=D{A}^{-1}C$。

【证明】通过广义初等变换将矩阵的其中一个元素变为$O$，因为题中已给出$A$可逆，所以可将$D$化为$O$：

$$\left(\begin{array}{cc}A& C\\ D& B\end{array}\right)\stackrel{r_2-D{A}^{-1}{r}_1}{}\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B-D{A}^{-1}C\end{array}\right)$$

显然该变换不会改变原有矩阵的秩，因此根据性质$r\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)\ge r(A)+r(B)$，可以得出：

$$\begin{array}{rl}r\left(\begin{array}{cc}A& C\\ D& B\end{array}\right)& =r\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B-D{A}^{-1}C\end{array}\right)\\ n& \ge r(A)+r(B-D{A}^{-1}C)\\ n& \ge n+r(B-D{A}^{-1}C)（A可逆）\\ 所以：& r(B-D{A}^{-1}C)=0\\ 即：& B-D{A}^{-1}C=O，得证\end{array}$$

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【例 10】$A,B,C,D$是$n$阶方阵，证明：若$r\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=n$，则 ∣ ∣ A ∣ ∣ B ∣ ∣ C ∣ ∣ D ∣ ∣ = 0 \left| \begin{matrix} |A| & |B| \\ |C| & |D| \end{matrix} \right| = 0 ​∣A∣∣C∣​∣B∣∣D∣​ ​=0。

【证明】本题与上题的思路一致。

（1）设$A,B,C,D$均不可逆，则四个行列式均为$0$，结论显然成立。

（2）设$A,B,C,D$至少有一个可逆，不妨假设$A$可逆，则由广义初等变换得

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)\stackrel{r_2-C{A}^{-1}{r}_1}{}\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& D-C{A}^{-1}B\end{array}\right)$$

显然该变换不会改变原有矩阵的秩，因此根据性质$r\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)\ge r(A)+r(B)$，可以得出：

$$\begin{array}{rl}r\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)& =r\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& D-C{A}^{-1}B\end{array}\right)\\ n& \ge r(A)+r(D-C{A}^{-1}B)\\ n& \ge n+r(D-C{A}^{-1}B)（A可逆）\\ 所以：& r(D-C{A}^{-1}B)=0\\ 即：& D=C{A}^{-1}B\\ 两边取行列式得：& |D|=\frac{|C||B|}{|A|}，即为本题结论\end{array}$$

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3. 应用于矩阵的逆

【例 1】求以下矩阵的逆，已知矩阵$A,B$均可逆：

（1）$\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)$；（2）$\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)$；（3）$\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)$；（4）$\left(\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right)$。

【解】求矩阵的逆的通常方法是初等变换法，即：$(A|E)\stackrel{r}{}(E|A^{-1})$，现推广到使用广义初等变换求矩阵的逆。

（1）由广义初等变换得
$$\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}A& O& E& O\\ O& B& O& E\end{array}\end{array}\right)\stackrel{A^{-1}{r}_1,B^{-1}{r}_2}{}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}E& O& A^{-1}& O\\ O& E& O& B^{-1}\end{array}\end{array}\right)$$

且该变换不改变原矩阵的秩，所以矩阵的逆为$\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$。

（2）由广义初等变换得
$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}O& A& E& O\\ B& O& O& E\end{array}\end{array}\right)\stackrel{A^{-1}{r}_1,B^{-1}{r}_2}{}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}O& E& A^{-1}& O\\ E& O& O& B^{-1}\end{array}\end{array}\right)\\ & \stackrel{r_1\leftrightarrow r_2}{}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}E& O& O& B^{-1}\\ O& E& A^{-1}& O\end{array}\end{array}\right)\end{array}$$

且该变换不改变原矩阵的秩，所以矩阵的逆为$\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)$。

（3）由广义初等变换得
$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}A& C& E& O\\ O& B& O& E\end{array}\end{array}\right)\stackrel{r_1-C{B}^{-1}{r}_2}{}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}A& O& E& -C{B}^{-1}\\ O& B& O& E\end{array}\end{array}\right)\\ & \stackrel{A^{-1}{r}_1,B^{-1}{r}_2}{}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}E& O& A^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ O& E& O& B^{-1}\end{array}\end{array}\right)\end{array}$$

且该变换不改变原矩阵的秩，所以矩阵的逆为$\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$。

（4）由广义初等变换得
$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}A& O& E& O\\ C& B& O& E\end{array}\end{array}\right)\stackrel{r_2-C{A}^{-1}{r}_1}{}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}A& O& E& O\\ O& B& -C{A}^{-1}& E\end{array}\end{array}\right)\\ & \stackrel{A^{-1}{r}_1,B^{-1}{r}_2}{}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}E& O& A^{-1}& O\\ O& E& -B^{-1}C{A}^{-1}& B^{-1}\end{array}\end{array}\right)\end{array}$$

且该变换不改变原矩阵的秩，所以矩阵的逆为$\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ -B^{-1}C{A}^{-1}& B^{-1}\end{array}\right)$。

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【例 2】$A,B$为可逆矩阵，$E$为单位阵，$M^{\ast }$为$M$的伴随矩阵，则${\left(\begin{array}{cc}A& E\\ O& B\end{array}\right)}^{\ast }=？$

【解】由公式$M{M}^{\ast }=|M|E$可得$M^{\ast }=|M|M^{-1}$，因此想要求出该矩阵的伴随矩阵，只需求出其逆矩阵即可。由广义初等变换得

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}A& E& E& O\\ O& B& O& E\end{array}\end{array}\right)\stackrel{r_1-B^{-1}{r}_2}{}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}A& O& E& -B^{-1}\\ O& B& O& E\end{array}\end{array}\right)\\ & \stackrel{A^{-1}{r}_1,B^{-1}{r}_2}{}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}E& O& A^{-1}& -A^{-1}{B}^{-1}\\ O& E& O& B^{-1}\end{array}\end{array}\right)\end{array}$$

且该变换不改变原矩阵的秩，所以该矩阵的逆为$\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$。

所以该矩阵的伴随矩阵为${\left(\begin{array}{cc}A& E\\ O& B\end{array}\right)}^{\ast }=|A||B|\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}|B|\cdot |A|A^{-1}& -|A|A^{-1}\cdot |B|B^{-1}\\ O& |A|\cdot |B|B^{-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}|B|A^{\ast }& -A^{\ast }{B}^{\ast }\\ O& |A|B^{\ast }\end{array}\right)$。

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4. 应用于行列式计算

初等变换、广义消法变换和广义换法变换均不会改变原矩阵的秩，所以行列式的值也不会改变。

【例】$A,B$为$n$阶方阵，证明： ∣ A B B A ∣ = ∣ A + B ∣ ⋅ ∣ A − B ∣ \left| \begin{matrix} A & B \\ B & A \end{matrix} \right| = |A+B| \cdot |A-B| ​AB​BA​ ​=∣A+B∣⋅∣A−B∣。

【证明】由广义初等变换得

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& A\end{array}\right)\stackrel{r_1+r_2}{}\left(\begin{array}{cc}A+B& A+B\\ B& A\end{array}\right)\stackrel{c_2-c_1}{}\left(\begin{array}{cc}A+B& O\\ O& A-B\end{array}\right)$$

显然变换不改变矩阵的秩，所以有： ∣ A B B A ∣ = ∣ A + B O O A − B ∣ = ∣ A + B ∣ ⋅ ∣ A − B ∣ \left| \begin{matrix} A & B \\ B & A \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} A+B & O \\ O & A-B \end{matrix} \right| = |A+B| \cdot |A-B| ​AB​BA​ ​= ​A+BO​OA−B​ ​=∣A+B∣⋅∣A−B∣。

部分题目来源：夜雨教你考研竞赛