一道几何证明题

之前发现一个很奇怪的几何规律，第一感觉不像是对的。看上去很初级的样子，但很奇怪为什么没遇到过。通过数值验证它的确是没毛病的，但很好奇它的理论证明方法，想了很久没想出来，上网各种搜都没有答案。命题如下：

图1

如图1所示，ABC为任意三角形，AE和BD相交于点O，CO和DE相交于点F。过C点作直线 r 与AB平行，延长线段AF和AE分别交直线 r 于点G、H。

证明：CG和GH长度相等。 

我最想知道怎么用平面几何相关定理来证明，没办法后来只能退而求其次用解析几何的方法证明。如下：

图2

建立直角坐标，点的坐标如图2所示。其中用紫色表示的坐标代表设定的参数，以表示任意的三角形ABC和任意点O。然后利用直线方程求出(x1,y1)、(x2,y2)，然后表示出(x3,y3)，最后表示出x4和x5，最后求出x4-c=x5-x4即得证。

但求到一半我受不了了，x3，y3太复杂没信心继续求下去。

x3 = ((a*c^2*f^2)/(a*d + c*f - d*e) + (a*d^2*e^2)/(a*f - c*f + d*e) - (a^2*c^2*d*f^2)/((a*d + c*f - d*e)*(a*f - c*f + d*e)) - (a^2*d^2*e^2*f)/((a*d + c*f - d*e)*(a*f - c*f + d*e)) - (a*c*d*e*f)/(a*d + c*f - d*e) - (a*c*d*e*f)/(a*f - c*f + d*e) + (a^2*c*d*e*f^2)/((a*d + c*f - d*e)*(a*f - c*f + d*e)) + (a^2*c*d^2*e*f)/((a*d + c*f - d*e)*(a*f - c*f + d*e)))/((a*c*f^2)/(a*d + c*f - d*e) + (a*d^2*e)/(a*f - c*f + d*e) - (a*c*d*f)/(a*f - c*f + d*e) - (a*d*e*f)/(a*d + c*f - d*e))

y3 = ((a*c*d*f^2)/(a*d + c*f - d*e) - (a*c*d*f^2)/(a*f - c*f + d*e) - (a*d^2*e*f)/(a*d + c*f - d*e) + (a*d^2*e*f)/(a*f - c*f + d*e) + (a^2*c*d*f^3)/((a*d + c*f - d*e)*(a*f - c*f + d*e)) + (a^2*d^3*e*f)/((a*d + c*f - d*e)*(a*f - c*f + d*e)) - (a^2*c*d^2*f^2)/((a*d + c*f - d*e)*(a*f - c*f + d*e)) - (a^2*d^2*e*f^2)/((a*d + c*f - d*e)*(a*f - c*f + d*e)))/((a*c*f^2)/(a*d + c*f - d*e) + (a*d^2*e)/(a*f - c*f + d*e) - (a*c*d*f)/(a*f - c*f + d*e) - (a*d*e*f)/(a*d + c*f - d*e))

今天想起来Matlab有简化多项式的函数，于是利用simplify函数求得：

x3 = (c*f + d*e)/(d + f)

y3 = (2*d*f)/(d + f)

原来这么简单，肯定里面好多分母相同的项之前没有仔细观察，要是换个初中高中生来做，应该会很快。进而得到：

x4 = (c*f + d*e)/(2*f)

x5 = (d*e)/f

于是

x4-c = -(c*f - d*e)/(2*f) =  x5-x4 

附——完整的Matlab代码：

syms a;syms c;syms d;syms e;syms f;[x1,y1]=getcross(0,0,c,d,e,f,a,0);[x2,y2]=getcross(a,0,c,d,0,0,e,f);[x3,y3]=getcross(c,d,e,f,x1,y1,x2,y2);[x4,y4]=getcross(c,d,0,d,x3,y3,0,0);[x5,y5]=getcross(c,d,0,d,e,f,0,0);ans=x5-x4-(x4-c);simplify(ans)

% 其中求两条线的交点的函数

function [x,y] = getcross( x11,y11,x12,y12,x21,y21,x22,y22 )    x=(x11*x21*y12 - x12*x21*y11 - x11*x22*y12 + x12*x22*y11 - x11*x21*y22 + x11*x22*y21 + x12*x21*y22 - x12*x22*y21)/(x11*y21 - x21*y11 - x11*y22 - x12*y21 + x21*y12 + x22*y11 + x12*y22 - x22*y12);    y=(x11*y12*y21 - x12*y11*y21 - x11*y12*y22 + x12*y11*y22 - x21*y11*y22 + x22*y11*y21 + x21*y12*y22 - x22*y12*y21)/(x11*y21 - x21*y11 - x11*y22 - x12*y21 + x21*y12 + x22*y11 + x12*y22 - x22*y12);    end

（换行的行距太大了o(╥﹏╥)o，所以代码没有换行）