【报童模型】随机优化问题&&二次规划
面对需求的不确定性，报童模型是做库存优化的常见模型。而标准报童模型假设价格是固定的，此时求解一个线性规划问题，可以得到最优订货量，这种模型存在局限性。因为现实世界中价格与需求存在一定的关系，本文假设需求q是价格p的线性函数，基于历史需求数据学习回归直线的参数并计算拟合残差，带入到报童模型中，此时的报童模型变成一个二次规划问题，其目标函数是关于价格p是二次的。
方法
为提高报童模型的准确性，使用SAA算法解决随机优化问题，并与其他方法做对比。
对标准报童模型做的三个扩展
扩展1：允许rush order
当售卖当天需求量过高时，允许报童紧急订报，只是价格g比一般订购价格c稍高，即g>c；
如果定货太多，那么每份报纸会产生持货成本t，特别地，如果允许以一定价格回退给厂商，那么t<0 。但在这个文章中，仅考虑t>0的情况。
符号说明：
单份报纸的售价为p;
订货量是q;
目标函数是
扩展2：需求与价格呈线性相关
假设需求与价格的线性回归模型如下
D = β 0 + β 1 p + ϵ i D=\beta_0+\beta_1p+\epsilon_i D=β0+β1p+ϵi
根据给定的数据集（含价格和需求量，即 { ( p i , D i ) ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{(p_i,D_i)|i=1,2,...,n\} {(pi,Di)∣i=1,2,...,n}），找出最佳拟合线性回归函数的参数。假设干扰项 ϵ i \epsilon_i ϵi具有随机性,根据历史数据 { ( p i , D i ) ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{(p_i,D_i)|i=1,2,...,n\} {(pi,Di)∣i=1,2,...,n}学习到参数 β 0 , β 1 \beta_0,\beta_1 β0,β1，计算残差值 { ϵ i ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\epsilon_i|i=1,2,...,n\} {ϵi∣i=1,2,...,n}。
- 对于价格固定的标准报童模型，求最优订货量
如果新价格p出现，将计算好的残差值 { ϵ i ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\epsilon_i|i=1,2,...,n\} {ϵi∣i=1,2,...,n}和新价格p带入模型 D = β 0 + β 1 p + ϵ i D=\beta_0+\beta_1p+\epsilon_i D=β0+β1p+ϵi，可以得到新价格p所对应的需求量估计值 { D i ^ ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\hat{D_i}|i=1,2,...,n\} {Di^∣i=1,2,...,n}，这些估计值会带入到标准报童模型中，求解该线性规划问题，从而得到最优订货量。
关于计算需求量估计值的进一步解释，比如：估计参数 β 0 = 1000 , β 1 = − 2 \beta_0=1000,\beta_1=-2 β0=1000,β1=−2，现有两个样本的拟合残差是15和-9，对于新价格2来说，需求量估计值有
1000 − 2 ∗ 2 + 15 = 1011 1000-2*2+15=1011 1000−2∗2+15=1011,
1000 − 2 ∗ 2 − 9 = 987 1000-2*2-9=987 1000−2∗2−9=987 - 对于价格不固定的扩展报童模型，求最优订货量和最优价格
此时，目标函数
中 p ∗ D i p*D_i p∗Di就会变成 p ∗ ( β 0 + β 1 p + ϵ i ) p*(\beta_0+\beta_1p+\epsilon_i) p∗(β0+β1p+ϵi)，这是价格p的二次函数。
注意：上面目标函数中的 D i D_i Di指的是新价格p所对应的第i个需求估计值，而不是原数据集中第i个样本的需求值。
我觉得没有疑问了，这本身就是一个关于价格p的二次优化问题。
注：
为了求解这个问题，引入哑变量 h i h_i hi，表示第i天成本的负值。如此一来，目标函数——利润函数可以表示为收益+成本负值的平均，其中收益指 p ∗ D i p*D_i p∗Di，成本负值指 h i h_i hi。
扩展3：分析数据集对最优订货量和最优价格的影响（最优订购量、最优价格的敏感性分析）
对原数据集做重采样，计算最优订货量、最优价格、对应的期望利润值。
任务
- 根据给定数据集，估计出需求与价格之间的线性回归方程；
- 给定参数c=0.5,g=0.75,t=0.15,利用残差数据 { ϵ i ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\epsilon_i|i=1,2,...,n\} {ϵi∣i=1,2,...,n}，求价格p=1时的需求量估计值 { D i ^ ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\hat{D_i}|i=1,2,...,n\} {Di^∣i=1,2,...,n}；
- 求价格p=1时的最优订货量（这是一个线性规划问题）；
- 假设价格不是固定的，将需求量与价格的线性回归方程带入到报童模型中，解QP(二次规划问题，目标函数含价格的平方项)，得最优订货量、最优价格；
- 分析最优价格、最优订货量是否对数据集敏感。对原数据集做重采样，重新估计需求与价格之间的线性回归函数参数 ，求最优价格和最优订货量；
- 重复上述重采样、拟合操作，得到多组最优订货量和最优价格；为得到的最优订货量、最优价格、期望利润绘制直方图，观察统计规律。
建模
价格固定时
下面是思路，我用黄色荧光笔标了步骤，即
如果新价格p出现，将计算好的残差值 { ϵ i ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\epsilon_i|i=1,2,...,n\} {ϵi∣i=1,2,...,n}和新价格p带入模型 D = β 0 + β 1 p + ϵ i D=\beta_0+\beta_1p+\epsilon_i D=β0+β1p+ϵi，可以得到新价格p所对应的需求量估计值 { D i ^ ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\hat{D_i}|i=1,2,...,n\} {Di^∣i=1,2,...,n}，这些估计值会带入到标准报童模型中，求解该线性规划问题，从而得到最优订货量。
上述模型的含义：目标函数是最大化利润，引入哑变量 h i h_i hi表示第’i天的成本负值。
上面画黄线的约束表示：不管需求量大于还是小于订货量，利润都大于 h i h_i hi。换言之，限制利润（不管需求量大于还是小于订货量）大于等于一个变量，这个变量大于等于负无穷。
??为什么成本负值数组h的约束不是 0 > h > − inf 0>h>-\inf 0>h>−inf 做实验的时候，加上试试。会影响结果
将上述约束化简成Gurobi建模所需要的形式（如下图的蓝笔）
注：“Gurobi建模所需要的形式”是指“明确哪些是决策变量，哪些是决策变量的系数，哪些是右端项”，这里的决策变量有 q , h 1 , . . . h N q,h_1,...h_N q,h1,...hN。
化简步骤见图中黑笔
价格不固定时
我用蓝笔标注了步骤：
首先，获取需求-价格数据集，估计线性回归参数并计算残差数据；
接着，把 D = β 0 + β 1 p + ϵ i D=\beta_0+\beta_1p+\epsilon_i D=β0+β1p+ϵi带入到标准报童模型中，会得到一个二次规划问题。
将之前的拟合结果——残差数据、拟合函数参数等，带入到上述模型中，得到需求量估计值 D i D_i Di，得到如下模型：
记录一个我没看懂的地方。我觉得作者的转换并没有把二次约束转成线性约束啊，难道是我对“二次规划”的定义理解出错了？我以为的二次规划是，目标函数是二次的，约束是一次的 数学优化问题。
关于上图的问题，我在纸上列了一下，作者的Gurobi模型应该是把上面两个约束的二次项 p 2 p^2 p2拿掉了（用报告里面的话说：拿到目标函数中了）。
??为什么可以直接拿掉呢
关于上面的约束如何化简成jupyter文件中Gurobi模型，我在草稿纸上简单列了一下，蓝色荧光笔标注的是Gurobi建模时所用的约束。
约束1：
约束2：
上图还有一个问题是，目标函数中决策变量 h i h_i hi的系数应该是1。这一点可以从两个地方看出来：第一，老师给的作业说明（见上面“扩展2”中， h i h_i hi的含义说明——成本负值）；第二，作者的Gurobi建模obj数组中目标函数系数的指定。
最优解的稳定性分析
目标：探究使用不同的数据集是否会影响到最优解——最优价格和最优订货量
做法：对原数据集做1000次重采样，每次采样随机抽取99组样本形成新数据集。然后，针对新数据集，计算并收集最优订货量和最优价格，以及对应的最优利润expect_profit。绘制最优订货量、最优价格、最优价格的分布直方图，发现大致服从正态分布，且最优价格与之前LP中的预定价格1相差不大，expect_profit的均值也与之前LP的expect_profit相差不大。
注：新数据集与原数据集样本顺序是不同的。（我觉得这里有些不妥……应该设计新数据集是原数据集的子集，然后观察最优解的统计规律）
我给这个报告添加了一个conclusion，如下图
