欧拉公式之证明

首先，我们考虑复数函数的泰勒级数展开式。对于任意一个复数函数f(z)，我们可以将其在z=a处进行泰勒级数展开：

f(z)  =  f(a)  +  f'(a)(z-a)  +  f''(a)(z-a)^2/2!  +  f'''(a)(z-a)^3/3!  +  ...

其中f'(a)表示f(z)在z=a处的导数，f''(a)表示f(z)在z=a处的二阶导数，以此类推。

接下来，我们考虑复指数函数e^z的泰勒级数展开式。对于这个函数，我们可以得到：



利用这个泰勒级数展开式，我们可以将复指数函数表示为幂级数的形式。

然后，我们考虑复数函数f(z)  =  e^iz。根据欧拉公式的定义，我们知道e^ix  =  cos(x)  +  isin(x)。因此，我们有：

现在，我们使用泰勒级数展开式将f(z)表示为幂级数的形式：

f(z)  =  1  +  (iz)  +  (iz)^2/2!  +  (iz)^3/3!  +  ...

根据幂级数的性质，我们可以重新排列和化简这个级数：

f(z)  =  1  +  iz  -  z^2/2!  -  iz^3/3!  +  z^4/4!  +  ...

我们可以将这个幂级数的实部和虚部分开，得到：

Re(f(z))  =  1  -  z^2/2!  +  z^4/4!  -  z^6/6!  +  ...
Im(f(z))  =  z  -  z^3/3!  +  z^5/5!  -  z^7/7!  +  ...

观察这两个级数，我们发现实部部分是一个偶幂次项的级数，而虚部部分是一个奇幂次项的级数。

现在，我们考虑一个复数z，其中z可以表示为z  =  x  +  i*y，其中x和y都是实数。将z代入实部和虚部的级数展开式中：

Re(f(z))  =  1  -  (x^2  -  y^2)/2!  +  (x^4  -  y^4)/4!  -  (x^6  -  y^6)/6!  +  ...
Im(f(z))  =  (x  +  i*y)  -  (x^3  +  3*x*y^2)/3!  +  (x^5  +  5*x^3*y^2  +  x*y^4)/5!  -  (x^7  +  7*x^5*y^2  +  7*x^3*y^4  +  x*y^6)/7!  +  ...

令x^2  -  y^2等于cosθ，2*x*y等于sinθ，我们可以得到：

Re(f(z))  =  1  -  cosθ/2!  +  cosθ^2/4!  -  cosθ^3/6!  +  ...
Im(f(z))  =  sinθ  -  sinθ^3/3!  +  sinθ^5/5!  -  sinθ^7/7!  +  ...

现在，我们回顾一下欧拉公式的定义：e^ix  =  cos(x)  +  isin(x)。比较Re(f(z))和Im(f(z))我们可以发现，它们分别与cosθ和sinθ是相同的级数。

综上所述，我们可以得出结论：对于任意一个复数z，我们有e^iz  =  cos(z)  +  isin(z)。这就是欧拉公式的证明。