dp引入 解题报告

dp引入

[IOI1994]数字三角形 Number Triangles

问题描述：略。

转移方程：
$$F(i,j)=A[i,j]+max\{\begin{array}{l}F(i-1,j)\\ F(i-1,j-1)ifj>1\end{array}$$
状态表示：

​ F(i, j)表示从左上角走到第i行第j列的和得最大值。

边界：
$$F(i,j)=A[i,j]$$
目标：
$$ma{x}_{1\le j\le N}F(N,j)$$
代码：

void solve() {
    int n; cin>>n;
    vector<vector<int>> ph(n+1, vector<int>(n+1));
    auto f(ph);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        for(int j = 1; j <= i; ++j) {
            cin>>ph[i][j];
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        for(int j = 1; j <= i; ++j) {
            f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-1]) + ph[i][j];
        }
    }
    cout<<*max_element(all(f[n]));
}

最长上升子序列(LIS)

问题描述：略。

转移方程：
$$F(i)=ma{x}_{0\le j<i,A[j]<A[i]}F[j]+1$$
状态表示：

F(i)表示前i个最上上升子序列个数

边界：
$$F(0)=0$$
目标：
$$ma{x}_{1\le i\le N}F[i]$$
代码：

void solve() {
    int n; cin>>n;
    vector<int> a(n+1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) cin>>a[i];
    vector<int> f(n+1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        f[i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; ++j) {
            if(a[j] <= a[i]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
        }
    }
    cout<<*max_element(all(f));
}

void solve() {
    int n; cin>>n;
    vector<int> a(n);
    for(auto &t: a) cin>>t;
    vector<int> f;
    for(auto t: a) {
        auto pos = lower_bound(all(f), t);
        if(pos == f.end()) f.push_back(t);
        else *pos = t;
    }
    cout<<f.size();
}

最长公共子序列(LCS)

问题描述：略。

转移方程：
$$F(i,j)=max\{\begin{array}{l}F(i-1,j)\\ F(i,j-1)\\ F(i-1,j-1)ifA[i]=B[i]\end{array}$$
状态表示：

​ 在A串的第i个和B串的第j个中的最长公共子序列

边界：
$$F(i,0)=F(0,j)=0$$
目标：
$$F(N_i,M_j)$$
代码：

// 字符串和数字对于这题来说相同
void solve() {
    int n; cin>>n;
    vector<int> A(n+1);
    auto B(A);
    vector<vector<int>> f(n+1, vector<int>(n+1));
    rep(i,1,n) cin>>A[i];
    rep(i,1,n) cin>>B[i];
    rep(i,1,n) {
        rep(j,1,n) {
            f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1]);
            if(A[i] == B[j]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-1] + 1);
        }
    }
    cout<<f[n][n];
}

过河卒

问题描述：略。

转移方程：
$$F(i,j)=\{\begin{array}{l}0ifph[i,j]=马能到达位置\\ F(i-1,j)+F(i,j-1)\end{array}$$
状态表示：

​ F(i,j)表示从0，0点到坐标（i，j）的路径之和。

边界：
$$F(0,0)=1$$
目标：
$$F(N,N)$$
代码：

void solve() {
    int x1,x2,y1,y2; cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
    x1++,y1++,x2++,y2++;
    vector<vector<int>> f(x1+1, vector<int>(y1+1));
    vector<int> fx({-1,-1,1,1,2,2,-2,-2}), fy({2,-2,2,-2,1,-1,1,-1});
    for(int i = 0; i < 8; ++i) {
        int xx = x2 + fx[i], yy = y2 + fy[i];
        if(xx < 1 || xx > x1 || yy < 1 || yy > y1) continue;
        f[xx][yy] = -1;
    }
    f[x2][y2] = -1;
    // f[0][2] = f[2][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= x1; ++i) {
        for(int j = 1; j <= y1; ++j) {
            if(i == 1 && j == 1) {
                f[i][j] = 1; continue;
            }
            if(f[i][j] == -1) f[i][j] = 0;
            else f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];
            // cout<
        }
    }
    cout<<f[x1][y1];
}

luogu数据：

in: 8 6 0 4
out: 1617

错误原因：判断方向continue错了，xx > x2 || yy > y2，原来是xx >= x2 || yy >= y2。

练习

P1057 [NOIP2008 普及组] 传球游戏

问题描述：传球游戏，开始球在第一个人处，问经过m次传球，传到第一个人处的方法数。

转移方程：
$$\begin{gathered} F(j==1?n:j-1,i)+=F(j,i-1) \\ F(j==n?1:j+1,i)+=F(j,i-1) \end{gathered}$$
状态表示：

F(j,i)表示从0到第i次传到第j个人的方法数。因为是成环，需要在左右边界进行特判。

边界：
$$F(1,0)=1$$
目标：
$$F(1,m)$$
代码：

void solve() {
    int n,m; cin>>n>>m;
    vector<vector<int>> f(n+1, vector<int>(m+1));
    f[1][0] = 1;
    rep(i,1,m) { // ** 
        rep(j,1,n) {
            f[j == 1 ? n : j - 1][i] += f[j][i-1];
            f[j == n ? 1 : j + 1][i] += f[j][i-1];
        }
    }
    cout<<f[1][m];
}

 错误原因

•  没有理清子问题到底是什么。开始将子问题理解成，第j个人经i次传到下一次。但是真正的子问题是：第i次传球传给的人。 将n和m遍历顺序进行修改就正确了

最大子段和

问题描述：给出一个长度为 n 的序列 a，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

转移方程：
$$F(i)=max(A[i],F(i-1)+A[i])$$
状态表示：

​ F(i)表示的是前i个连续的最大字段和。

边界：
$$F(1)=A[1]$$
目标：
$$ma{x}_{1\le i\le N}F(i)$$
代码：

void solve() {
    int n; cin>>n;
    vector<LL> a(n+1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) cin>>a[i];
    vector<LL> f(n+1);
    f[1] = a[1];
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        f[i] = max(a[i], f[i-1] + a[i]);

    }
    cout<<*max_element(f.begin()+1, f.end());

}