matlab使用教程(17)—广度优先和深度优先搜索

1.可视化广度优先搜索和深度优先搜索

        此示例说明如何定义这样的函数：该函数通过突出显示图的节点和边来显示 bfsearch 和 dfsearch 的可视化结果。

        创建并绘制一个有向图。

s = [1 2 3 3 3 3 4 5 6 7 8 9 9 9 10];

t = [7 6 1 5 6 8 2 4 4 3 7 1 6 8 2];

G = digraph(s,t);

plot(G)

        对该图执行深度优先搜索。指定 'allevents' 以便在算法中返回所有事件。此外，将 Restart 指定为 true 以确保搜索会访问图中的每个节点。

T = dfsearch(G, 1, 'allevents' , 'Restart' , true)

T =

38x4 table

Event Node Edge EdgeIndex

________________ ____ __________ _________

startnode 1 NaN NaN NaN

discovernode 1 NaN NaN NaN

edgetonew NaN 1 7 1

discovernode 7 NaN NaN NaN

edgetonew NaN 7 3 10

discovernode 3 NaN NaN NaN

edgetodiscovered NaN 3 1 3

edgetonew NaN 3 5 4

discovernode 5 NaN NaN NaN

edgetonew NaN 5 4 8

discovernode 4 NaN NaN NaN

edgetonew NaN 4 2 7

discovernode 2 NaN NaN NaN

edgetonew NaN 2 6 2

discovernode 6 NaN NaN NaN

edgetodiscovered NaN 6 4 9

finishnode 6 NaN NaN NaN

finishnode 2 NaN NaN NaN

finishnode 4 NaN NaN NaN

finishnode 5 NaN NaN NaN

edgetofinished NaN 3 6 5

edgetonew NaN 3 8 6

discovernode 8 NaN NaN NaN

edgetodiscovered NaN 8 7 11

finishnode 8 NaN NaN NaN

finishnode 3 NaN NaN NaN

finishnode 7 NaN NaN NaN

finishnode 1 NaN NaN NaN

startnode 9 NaN NaN NaN

discovernode 9 NaN NaN NaN

edgetofinished NaN 9 1 12

edgetofinished NaN 9 6 13

edgetofinished NaN 9 8 14

finishnode 9 NaN NaN NaN

startnode 10 NaN NaN NaN

discovernode 10 NaN NaN NaN

edgetofinished NaN 10 2 15

finishnode 10 NaN NaN NaN

        表 T 中的值对可视化搜索很有用。函数 visualize_search.m 展示了一种方法，使用通过 bfsearch 和dfsearch 执行的搜索的结果，根据事件表 T 突出显示图中的节点和边。该函数在算法中的每一步执行前都会暂停，这样您就可以通过按任意键缓慢地逐步执行搜索。

        将 visualize_search.m 保存在当前文件夹中。

function visualize_search(G,t)
% G is a graph or digraph object, and t is a table resulting from a call to
% BFSEARCH or DFSEARCH on that graph.
%
% Example inputs: G = digraph([1 2 3 3 3 3 4 5 6 7 8 9 9 9 10], ...
% [7 6 1 5 6 8 2 4 4 3 7 1 6 8 2]);
% t = dfsearch(G, 1, 'allevents', 'Restart', true);
% Copyright 1984-2019 The MathWorks, Inc.
isundirected = isa(G, 'graph');
if isundirected
% Replace graph with corresponding digraph, because we need separate
% edges for both directions
[src, tgt] = findedge(G);
G = digraph([src; tgt], [tgt; src], [1:numedges(G), 1:numedges(G)]);
end
h = plot(G,'NodeColor',[0.5 0.5 0.5],'EdgeColor',[0.5 0.5 0.5], ...
'EdgeLabelMode', 'auto');
for ii=1:size(t,1)
switch t.Event(ii)
case 'startnode'
highlight(h,t.Node(ii),'MarkerSize',min(h.MarkerSize)*2);
case 'discovernode'
highlight(h,t.Node(ii),'NodeColor','r');
case 'finishnode'
highlight(h,t.Node(ii),'NodeColor','k');
otherwise
if isundirected
a = G.Edges.Weight;
b = t.EdgeIndex(ii);
edgeind = intersect(find(a == b),...
findedge(G,t.Edge(ii,1),t.Edge(ii,2)));
else
edgeind = t.EdgeIndex(ii);
end
switch t.Event(ii)
case 'edgetonew'
highlight(h,'Edges',edgeind,'EdgeColor','b');
case 'edgetodiscovered'
highlight(h,'Edges',edgeind,'EdgeColor',[0.8 0 0.8]);
case 'edgetofinished'
highlight(h,'Edges',edgeind,'EdgeColor',[0 0.8 0]);
end
end

nodeStr = t.Node;
if isnumeric(nodeStr)
nodeStr = num2cell(nodeStr);
nodeStr = cellfun(@num2str, nodeStr, 'UniformOutput', false);
end

edgeStr = t.Edge;
if isnumeric(edgeStr)
edgeStr = num2cell(edgeStr);
edgeStr = cellfun(@num2str, edgeStr, 'UniformOutput', false);
end

if ~isnan(t.Node(ii))
title([char(t{ii, 1}) ' on Node ' nodeStr{ii}]);
else
title([char(t{ii, 1}) ' on Edge (' edgeStr{ii, 1} ', '...
edgeStr{ii, 2},') with edge index ' sprintf('%d ', t{ii, 4})]);
end

disp('Strike any key to continue...')
pause
end
disp('Done.')
close all

        使用以下命令对图 G 和搜索结果 T 运行 visualize_search.m ：

visualize_search(G,T)

        该图一开始全为灰色，然后每次您按一个键，就会出现一条新的搜索结果。根据以下命令高亮显示搜索结果：

• 'startnode' - 起始节点的大小变大。

• 'discovernode' - 节点在被发现后变成红色。

• 'finishnode' - 节点在完成后变成黑色。

• 'edgetonew' - 通向未发现的节点的边变成蓝色。

• 'edgetodiscovered' - 通向已发现的节点的边变成品红色。

• 'edgetofinished' - 通向已完成的节点的边变成绿色。

2.使用拉普拉斯矩阵为图分区

        此示例说明如何使用图的拉普拉斯矩阵来计算 Fiedler 向量。Fiedler 向量可用于将图分区为两个子图。

2.1 加载数据

        加载数据集 barbellgraph.mat ，其中包含一个杠铃图的稀疏邻接矩阵和节点坐标。

load barbellgraph.mat

2.2 绘制图

        使用自定义节点坐标 xy 绘制图。

G = graph(A, 'omitselfloops' );

p = plot(G, 'XData' ,xy(:,1), 'YData' ,xy(:,2), 'Marker' , '.' );

axis equal

2.3 计算拉普拉斯矩阵和 Fiedler 向量

        计算图的拉普拉斯矩阵。然后，使用 eigs 计算两个模最小的特征值和相应的特征向量。

L = laplacian(G);

[V,D] = eigs(L,2, 'smallestabs' );

        Fiedler 向量是对应于该图的次最小特征值的特征向量。最小特征值为零，表示该图包含一个连通分量。这种情况下， V 中的第二列对应于次最小特征值 D(2,2) 。

D

D = 2×2

10 -3 ×

0.0000 0

0 0.2873

w = V(:,2);

        由于仅计算特征值和特征向量的子集，因此使用 eigs 求 Fiedler 向量的方法可扩展至更大的图，但对于较小的图而言，将拉普拉斯矩阵转换为满存储并使用 eig(full(L)) 同样切实可行。

2.4 为图分区

        使用 Fiedler 向量 w 将图分区为两个子图。如果一个节点在 w 中具有正值，则该节点将分配至子图 A。否则，该节点将分配至子图 B。这种做法称为符号切割或零阈值切割。符号切割最大限度减小了切割权重，该权重受限于图的任意非平凡切割的权重上界和下界。使用符号切割对图进行分区。将 w>=0 的节点的子图突出显示为红色，将 w<0 的节点的子图突出显示为黑色。

highlight(p,find(w>=0), 'NodeColor' , 'r' ) % subgraph A

highlight(p,find(w<0), 'NodeColor' , 'k' ) % subgraph B

        对于该杠铃图而言，此分区恰好将图平分为两个相等的节点集。但符号切割不总是生成平衡切割。任何时候均可通过计算 w 的中位数并将其用作阈值来平分图。这种分区方法被称为中位数切割，它能保证每个子图具有相等的节点数量。使用中位切割时，首先按中位数平移 w 中的值：

w_med = w - median(w);

        然后，按 w_med 中的符号对图进行分区。对杠铃图而言， w 的中位数接近于零，因此两次切割会生成相似的平分。

3.将节点属性添加到图论图数据提示

        此示例说明如何自定义 GraphPlot 数据提示以显示图的额外节点属性。

3.1 绘制具有数据提示的 GraphPlot 对象

        创建随机有向图的 GraphPlot 图对象。将额外的节点属性 wifi 添加到该图。

rng default

G = digraph(sprandn(20, 20, 0.05));

G.Nodes.wifi = randi([0 1], 20, 1) == 1;

h = plot(G);

        向图中添加数据提示。利用数据提示，您能够选择图论图中的节点并查看节点的属性。

dt = datatip(h,4,3);

 

        默认情况下，无向图的数据提示会显示节点编号和度。对于有向图，显示内容包括节点编号、入度和出度。

3.2 自定义数据提示中的现有数据

        通过在适当的对象属性中添加、编辑或删除数据行，可以自定义图形对象的数据提示显示。对于此GraphPlot 对象：

        • GraphPlot 对象句柄是 h 。

        • h.DataTipTemplate 属性包含控制数据提示显示的对象。

        • h.DataTipTemplate.DataTipRows 属性将数据提示的数据保留为 DataTipTextRow 对象。

        • 每个 DataTipTextRow 对象都有 Label 和 Value 属性。您可以通过修改这些属性来调整在数据提示中显示的标签或数据。

        更改数据提示中节点行的标签，使其显示为“City”。

h.DataTipTemplate.DataTipRows(1).Label = "City" ;

        数据提示现在显示城市编号。

3.3 将数据添加到数据提示

        dataTipTextRow 函数创建一个可插入 DataTipRows 属性中的新数据行对象。使用 dataTipTextRow 为具有“WiFi”标签的数据提示创建一个新数据行，该数据提示引用图的 G.Nodes.wifi 属性中的值。将此数据提示行作为最后一行添加到 DataTipRows 属性中。

row = dataTipTextRow( 'WiFi' ,G.Nodes.wifi);

h.DataTipTemplate.DataTipRows(end+1) = row;

        数据提示显示现在包含每个节点的 Wi-Fi® 值。

3.4 从数据提示中删除数据

        要从数据提示中删除数据行，可以对 DataTipRows 属性进行索引，并对这些行分配空矩阵 []。这与从矩阵中删除行或列所用的方法可能相同。从数据提示中删除入度和出度行。由于这些行在数据提示显示中显示为第二行和第三行，因此它们对应于DataTipRows 属性的第二行和第三行。

h.DataTipTemplate.DataTipRows(2:3) = [];

        数据提示显示现在只显示城市编号和 Wi-Fi 状态。  

4.为图节点和边添加标签

        此示例说明如何在图节点和图边上添加和自定义标签。

4.1 创建并绘制图

        创建表示某个城市中网格化街道和交叉点的图。为边添加权重，使主干道和横穿街道在图中以不同的方式显示。使用与边权重成比例的边线宽绘图。

s = [1 1 2 2 3 4 4 5 5 6 7 7 8 8 9 10 11];

t = [2 4 3 5 6 5 7 6 8 9 8 10 9 11 12 11 12];

weights = [1 5 1 5 5 1 5 1 5 5 1 5 1 5 5 1 1];

G = graph(s,t,weights);

P = plot(G, 'LineWidth' ,G.Edges.Weight);

4.2 添加节点标签

        对于节点数不超过 100 个的图，MATLAB® 会使用数字节点索引或节点名称自动标记节点（更大的图默认情况下将省略这些标签）。但是，您可以通过调整 GraphPlot 对象 P 的 NodeLabel 属性或使用labelnode 函数来更改节点标签。因此，即使节点具有名称，也可以使用与这些名称不同的标签。删除默认的数字节点标签。将一个交叉点标记为 Home ，将另一个标记为 Work 。

labelnode(P,1:12, '' )

labelnode(P,5, 'Home' )

labelnode(P,12, 'Work' )

4.3 添加边标签

        在绘制的图中，边不是自动标记的。您可以通过更改 GraphPlot 对象 P 的 EdgeLabel 属性值或使用labeledge 函数来添加边标签。

        为纽约市的街道添加边标签。边的顺序在图的 G.Edges 表中定义，因此您指定的标签顺序必须遵循该顺序。将边标签直接存储在 G.Edges 表中很方便，这样边名称就位于其他边信息的旁边。

G.Edges

ans=17×2 table

EndNodes Weight

________ ______

1 2 1

1 4 5

2 3 1

2 5 5

3 6 5

4 5 1

4 7 5

5 6 1

5 8 5

6 9 5

7 8 1

7 10 5

8 9 1

8 11 5

9 12 5

10 11 1

⋮

        下面的示例有 17 条边，但只有 7 个唯一的街道名称。因此，可以在元胞数组中定义街道名称，然后对元胞数组进行索引，以检索每条边需要的街道名称。将变量添加到包含街道名称的 G.Edges 表中。

streets = { '8th Ave' '7th Ave' '6th Ave' '5th Ave' ...

'W 20th St' 'W 21st St' 'W 22nd St' }';

inds = [1 5 1 6 7 2 5 2 6 7 3 5 3 6 7 4 4];

G.Edges.StreetName = streets(inds);

G.Edges

ans=17×3 table

EndNodes Weight StreetName

________ ______ _____________

1 2 1 {'8th Ave' }

1 4 5 {'W 20th St'}

2 3 1 {'8th Ave' }

2 5 5 {'W 21st St'}

3 6 5 {'W 22nd St'}

4 5 1 {'7th Ave' }

4 7 5 {'W 20th St'}

5 6 1 {'7th Ave' }

5 8 5 {'W 21st St'}

6 9 5 {'W 22nd St'}

7 8 1 {'6th Ave' }

7 10 5 {'W 20th St'}

8 9 1 {'6th Ave' }

8 11 5 {'W 21st St'}

9 12 5 {'W 22nd St'}

10 11 1 {'5th Ave' }

⋮

        更新 EdgeLabel 属性，以引用这些街道名称。

P.EdgeLabel = G.Edges.StreetName;

4.4 调整字体属性

        图论图中的节点标签和边标签具有各自的属性，它们控制着标签的外观和样式。由于属性是分离的，因此可以对节点标签和边标签使用不同的样式。对于 节点 标签，可以调整：

• NodeLabel

• NodeLabelColor

• NodeFontName

• NodeFontSize

• NodeFontWeight

• NodeFontAngle

        对于边 标签，可以调整：

• EdgeLabel

• EdgeLabelColor

• EdgeFontName

• EdgeFontSize

• EdgeFontWeight

• EdgeFontAngle

        使用这些属性，可以调整此示例中纽约市街道使用的字体：

        • 更改 NodeFontSize 和 NodeLabelColor ，使交叉点标签的字体为 12 磅，颜色为红色。

        • 更改 EdgeFontWeight 、 EdgeFontAngle 和 EdgeFontSize，为一个方向的街道使用较大的粗体字体，为另一个方向的街道使用较小的斜体字体。

        • 更改 EdgeFontName ，使用 Times New Roman 作为边标签。

        可以使用 highlight 函数更改图边子集的图属性。创建逻辑索引 isAvenue ，对于包含单词 'Ave' 的边标签，逻辑索引的值为 true 。使用此逻辑向量作为 highlight 的输入，以一种方式标记所有主干道，以另一种方式标记所有非主干道。

P.NodeFontSize = 12;

P.NodeLabelColor = 'r' ;

isAvenue = contains(P.EdgeLabel, 'Ave' );

highlight(P, 'Edges' , isAvenue, 'EdgeFontAngle' , 'italic' , 'EdgeFontSize' , 7);

highlight(P, 'Edges' , ~isAvenue, 'EdgeFontWeight' , 'bold' , 'EdgeFontSize' , 10);

P.EdgeFontName = 'Times New Roman' ;

4.5 突出显示边

        找到 Home 和 Work 节点之间的最短路线，并检查哪些街道在该路线上。以红色突出显示该路线上的节点和边，并删除不在该路线上的所有边的边标签。

[path,d,pathEdges] = shortestpath(G,5,12)

path = 1×4

5 6 9 12

d = 11

pathEdges = 1×3

8 10 15

G.Edges.StreetName(pathEdges,:)

ans = 3x1 cell

{'7th Ave' }

{'W 22nd St'}

{'W 22nd St'}

highlight(P, 'Edges' ,pathEdges, 'EdgeColor' , 'r' )

highlight(P,path, 'NodeColor' , 'r' )

labeledge(P, setdiff(1:numedges(G), pathEdges), '' )