第三章，矩阵，03-矩阵与行列式

玩转线性代数(15)矩阵与行列式的笔记

矩阵与行列式的转置

将一个$m\times n$矩阵A的行列互换得到的$n\times m$矩阵，称为A的转置矩阵，记作$A^T$
行列式转置值不变，矩阵转置为一个新矩阵
矩阵转置规则：

1. $(A^T{)}^T=A$
2. $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
3. $(kA{)}^T=k{A}^T$，(k为实数)
4. $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

证明$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

设$A=(a_{ij}{)}_{m\times s},B=(b_{ij}{)}_{s\times n}$,
记$(AB{)}^T=(c_{ij}{)}_{n\times m},B^T{A}^T=(d_{ij}{)}_{n\times m}$，
则有$c_{ij}$为$(AB{)}^T$的第i行第j列，也为AB的第j行第i列，即A的第j行与B的第i行的乘积，即
$c_{ij}={\sum }_{k=1}^s{a}_{jk}{b}_{ki}$，
同理，$d_{ij}$为$B^T$的第i行与$A^T$的第j列的乘积，也即B的第i列与A的第j行的乘积，有
$d_{ij}={\sum }_{k=1}^s{a}_{jk}{b}_{ki}=c_{ij}$
故：
$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

证明$(ABC{)}^T=C^T{B}^T{A}^T$

$(ABC{)}^T=[(AB)C{]}^T=C^T(AB{)}^T=C^T{B}^T{A}^T$

推广:$(A_1{A}_2...A_k{)}^T=A_k^T...A_1^T$

方阵、对称矩阵

行列数相等：方阵
转置矩阵与原矩阵相等：对称阵

矩阵的k阶子式

定义

在$m\times n$阶矩阵A中任意选定矩阵的k行和k列，将位于这些行列的交点上的$k^2$个元素按原来的次序组成的一个新的行列式，称为矩阵的一个k阶子式。

方阵的行列式（方阵的最高阶子式）

n阶方阵A的元素构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作$|A|$或$detA$，它的最高阶子式就是n阶

• 性质：
  $|kA|=k^n|A|$
  $A=|A^T|$
• 拉普拉斯公式
  $\left|\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right|=|A||B|$
• $|AB|=|A||B|$
  证明：
  仅就n=2的情况写出证明，$n\ge 3$的情况类似可证。
  设$A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$，记四阶行列式
  $D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& 0& 0\\ a_{21}& a_{22}& 0& 0\\ -1& 0& b_{11}& b_{12}\\ 0& -1& b_{21}& b_{22}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ -E& B\end{array}\right|$
  由拉普拉斯公式，$D=|A||B|$
  D中第1列乘以$b_{11}$,第2列乘以$b_{21}$都加到第3列上；再将第1列乘以$b_{12}$，第2列乘以$b_{22}$都加到第4列上，即
  $D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}& a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}\\ a_{21}& a_{22}& a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}& a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}\\ -1& 0& b_{11}& b_{12}\\ 0& -1& b_{21}& b_{22}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& AB\\ -E& B\end{array}\right|$
  对上式作二次行变换，第1、3行，2、4行互换，得
  $D=(-1{)}^2\left|\begin{array}{cc}-E& 0\\ A& AB\end{array}\right|=(-1{)}^2|-E||AB|=|AB|$
  于是：
  $|AB|=|A||B|$