SR中的常见的损失函数

Pixel Loss

Pixel Loss是指两幅图像像素级的差异，主要包括L1 Loss (即mean absolute error)和L2 Loss(即mean square error)
L pixel_11  ( I ^ , I ) = 1 h w c ∑ i , j , k ∣ I ^ i , j , k − I i , j , k ∣ , L pixel_12  ( I ^ , I ) = 1 h w c ∑ i , j , k ( I ^ i , j , k − I i , j , k ) 2 , \begin{aligned} & \mathcal{L}_{\text {pixel\_11 }}(\hat{I}, I)=\frac{1}{h w c} \sum_{i, j, k}\left|\hat{I}_{i, j, k}-I_{i, j, k}\right|, \\ & \mathcal{L}_{\text {pixel\_12 }}(\hat{I}, I)=\frac{1}{h w c} \sum_{i, j, k}\left(\hat{I}_{i, j, k}-I_{i, j, k}\right)^2, \end{aligned} ​Lpixel_11 ​(I^,I)=hwc1​i,j,k∑​ ​I^i,j,k​−Ii,j,k​ ​,Lpixel_12 ​(I^,I)=hwc1​i,j,k∑​(I^i,j,k​−Ii,j,k​)2,​
其中h、w、c分别为待评估图像的高度、宽度和通道数。

此外，还有一种像素L1 Loss的变体Charbonnier loss
$${\mathcal{L}}_{\text{pixel\_Cha }}(\hat{I},I)=\frac{1}{hwc}\sum _{i,j,k}\sqrt{{\left({\hat{I}}_{i,j,k}-I_{i,j,k}\right)}^2+{ϵ}^2}$$
其中$ϵ$是数值稳定性的常数(例如，$10^{-3}$)。

像素损失约束生成的HR图像$\hat{I}$在像素值上足够接近ground truth $I$。与L1 Loss相比，L2 Loss惩罚大误差，但对小误差更宽容，因此往往导致结果过于平滑。在实践中，L1损耗比L2损耗上有更优的性能和收敛性。
由于PSNR的定义与像素级差异高度相关，最小化像素损耗直接最大化PSNR，所以像素损耗逐渐成为使用最广泛的损耗函数。
然而，由于像素损失实际上并没有考虑到图像质量(如感知质量，纹理)，结果往往缺乏高频细节，对于超平滑纹理，在感知上不令人满意。

---

代码实现

• Charbonnier Loss (L1)

class CharbonnierLoss(nn.Module):
    """Charbonnier Loss (L1)"""

    def __init__(self, eps=1e-6):
        super(CharbonnierLoss, self).__init__()
        self.eps = eps

    def forward(self, x, y):
        diff = x - y
        loss = torch.sum(torch.sqrt(diff * diff + self.eps)) # 求和
        return loss
        
class CharbonnierLoss2(nn.Module):
    """Charbonnier Loss (L1)"""

    def __init__(self, eps=1e-6):
        super(CharbonnierLoss2, self).__init__()
        self.eps = eps

    def forward(self, x, y):
        diff = x - y
        loss = torch.mean(torch.sqrt(diff * diff + self.eps)) # 求平均
        return loss

Content Loss

为了评价图像的perceptual quality，《Perceptual losses for real time style transfer and super-resolution》 和 《GeneratingImageswithPerceptualSimilarityMetricsbasedonDeepNetworks》将content loss引入到SR中。

Content Loss利用预先训练的图像分类网络来度量图像之间的语义差异。将该网络表示为$\phi$，提取的第$l$层high-level representation为${\phi }^{(l)}(I)$，Content Loss表示为两幅图像high-level representation之间的欧氏距离，如下:
$${\mathcal{L}}_{\text{content }}(\hat{I},I;\varphi ,l)=\frac{1}{h_l{w}_l{c}_l}\sqrt{\sum _{i,j,k}{\left({\varphi }_{i,j,k}^{(l)}(\hat{I})-{\varphi }_{i,j,k}^{(l)}(I)\right)}^2},$$
其中$h_l$、$w_l$和$c_l$分别为$l$层上表示的高度、宽度和通道数。
Content Loss 本质上是将learned knowledge of hierarchical image features从分类网络$\phi$转移到SR网络中。
与像素损失相比，内容损失促使输出图像$\hat{I}$在感知上与目标图像$I$相似，而不是强迫它们精确匹配像素。因此，它产生的结果在视觉上更加直观，其中VGG[128]和ResNet[96]是最常用的预训练CNN。

---

代码实现
详细讲解见: 《代码详解 —— VGG Loss》

class VGG19(torch.nn.Module): # VGG19的网络
    def __init__(self, requires_grad=False):
        super().__init__()
        vgg_pretrained_features = torchvision.models.vgg19(pretrained=True).features
        self.slice1 = torch.nn.Sequential()
        self.slice2 = torch.nn.Sequential()
        self.slice3 = torch.nn.Sequential()
        self.slice4 = torch.nn.Sequential()
        self.slice5 = torch.nn.Sequential()
        for x in range(2):
            self.slice1.add_module(str(x), vgg_pretrained_features[x])
        for x in range(2, 7):
            self.slice2.add_module(str(x), vgg_pretrained_features[x])
        for x in range(7, 12):
            self.slice3.add_module(str(x), vgg_pretrained_features[x])
        for x in range(12, 21):
            self.slice4.add_module(str(x), vgg_pretrained_features[x])
        for x in range(21, 30):
            self.slice5.add_module(str(x), vgg_pretrained_features[x])
        if not requires_grad:
            for param in self.parameters():
                param.requires_grad = False

    def forward(self, X):
        h_relu1 = self.slice1(X)
        h_relu2 = self.slice2(h_relu1)
        h_relu3 = self.slice3(h_relu2)
        h_relu4 = self.slice4(h_relu3)
        h_relu5 = self.slice5(h_relu4)
        out = [h_relu1, h_relu2, h_relu3, h_relu4, h_relu5]
        return out

# VGG 特征距离损失
class VGGLoss(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(VGGLoss, self).__init__()
        self.vgg = VGG19().cuda()
        # self.criterion = nn.L1Loss()
        self.criterion = nn.L1Loss(reduction='sum')
        self.criterion2 = nn.L1Loss()
        self.weights = [1.0 / 32, 1.0 / 16, 1.0 / 8, 1.0 / 4, 1.0]

    def forward(self, x, y):
        x_vgg, y_vgg = self.vgg(x), self.vgg(y)
        loss = 0
        for i in range(len(x_vgg)):
            # print(x_vgg[i].shape, y_vgg[i].shape)
            loss += self.weights[i] * self.criterion(x_vgg[i], y_vgg[i].detach())
        return loss

    def forward2(self, x, y):
        x_vgg, y_vgg = self.vgg(x), self.vgg(y)
        loss = 0
        for i in range(len(x_vgg)):
            # print(x_vgg[i].shape, y_vgg[i].shape)
            loss += self.weights[i] * self.criterion2(x_vgg[i], y_vgg[i].detach())
        return loss

Texture Loss

由于重建图像应该具有与目标图像相同的风格(如颜色、纹理、对比度)，并且受Gatys等人《Texture synthesis using convolutional neural networks》、"《Image style transfer using convolutional neural networks》"的style representation的启发，Texture Loss (又称style reconstruction loss)被引入SR中。将image texture 视为不同特征通道之间的相关性，并定义为Gram矩阵 $G^{(l)}\in {\mathbb{R}}^{c_l\times c_l}$, 其中$G_{ij}^{(l)}$ 为向量化后的feature map$i$和$j$在层$l$上的 Inner product :
$$G_{ij}^{(l)}(I)=\mathrm{vec}\left({\varphi }_i^{(l)}(I)\right)\cdot \mathrm{vec}\left({\varphi }_j^{(l)}(I)\right)$$
其中$vec(\cdot )$表示向量化运算，${\phi }_i^{(l)}(I)$表示图像$I$的$l$层特征映射的第$i$个通道，则纹理损失为:
$${\mathcal{L}}_{\text{texture }}(\hat{I},I;\varphi ,l)=\frac{1}{c_l^2}\sqrt{\sum _{i,j}{\left(G_{i,j}^{(l)}(\hat{I})-G_{i,j}^{(l)}(I)\right)}^2}$$
Sajjadi等人提出的EnhanceNet[8]通过使用纹理损失，可以创造出更逼真的纹理，并产生视觉上更令人满意的结果。尽管如此，决定patch size 的大小以匹配纹理仍然是通过经验估计的。过小的patch 会导致纹理区域出现伪迹，而过大的patch会导致整个图像出现伪迹，因为纹理统计数据是在不同纹理区域上平均的。

Adversarial Loss

近年来，由于其强大的学习能力，GANs[24]受到越来越多的关注，并被引入到各种视觉任务中。具体来说，GAN由一个执行生成(例如，文本生成，图像变换)的生成器和一个识别器组成，识别器将生成的结果和从目标分布中采样的实例作为输入，并区分每个输入是否来自于目标分布。在训练过程中，交替执行两个步骤:
(a)固定生成器并训练识别器，使其更好地进行判别;
(b)固定识别器并训练生成器，使其欺骗判别器。
通过充分的迭代对抗训练，生成的生成器可以产生与真实数据分布一致的输出，而鉴别器不能区分生成的数据与真实数据。

在超分辨率方面，采用对抗学习是很简单的，这种情况下，我们只需要将SR模型作为一个生成器，并定义一个额外的鉴别器来判断输入图像是否生成。因此，Ledig等人[25]首先提出了基于交叉熵的对抗损失的SRGAN，如下所示:
$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{\text{gan\_ce\_g }}(\hat{I};D)& =-\log D(\hat{I})\\ {\mathcal{L}}_{\text{gan\_ce\_d }}\left(\hat{I},I_s;D\right)& =-\log D\left(I_s\right)-\log (1-D(\hat{I})),\end{array}$$
其中$L_{gan\_ce\_g}$和$L_{gan\_ce\_d}$分别表示生成器(即SR模型)和判别器D(即二分类器)的对抗损失，$I_s$表示从ground truth中随机采样的图像。此外，Enhancenet[8]也采用了类似的对抗损失。
此外，Wang et al.[32]和Yuan et al.[131]采用基于最小二乘误差的对抗损失，使训练过程更加稳定，获得更高质量的结果，给出:
$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{\text{gan\_ls\_g }}(\hat{I};D)& =(D(\hat{I})-1{)}^2,\\ {\mathcal{L}}_{\text{gan\_ls\_d }}\left(\hat{I},I_s;D\right)& =(D(\hat{I}){)}^2+{\left(D\left(I_s\right)-1\right)}^2.\end{array}$$
与上述研究关注对抗损失的具体形式不同，Park等人[133]认为像素级鉴别器导致产生无意义的高频噪声，并附加另一个特征级鉴别器对经过预处理的CNN提取的高级表示进行操作，该CNN能够捕获真实HR图像中更有意义的属性。Xu等人[63]将一个由生成器和多个特定类别鉴别器组成的多类GAN融合在一起。ESRGAN[103]采用相对论GAN[134]来预测真实图像比假图像相对真实的概率，而不是输入图像真实或假的概率，从而指导恢复更详细的纹理。

广泛的MOS测试(第2.3.3节)表明，尽管使用对抗损失和内容损失训练的SR模型比使用像素损失训练的SR模型获得更低的PSNR，但它们在感知质量[8]，[25]上有显著的提高。实际上，该鉴别器提取了真实HR图像中一些难以学习的潜在模式，并推动生成的HR图像符合，从而有助于生成更真实的图像。但目前GAN的训练过程仍然困难且不稳定。虽然已有一些关于如何稳定GAN训练的研究[135]、[136]、[137]，但如何确保整合到SR模型中的GAN被正确训练并发挥积极作用仍然是一个问题。

Cycle Consistency Loss

Cycle Consistency Loss。受Zhu等人[138]提出的CycleGAN的启发，Yuan等人[131]提出了一种用于超分辨率的cyclin -cycle方法。具体来说，他们不仅超解析LR图像$I$到HR图像$\hat{I}$，而且还将采样$\hat{I}$返回到另一个LR图像$I$通过另一个CNN。要求再生后的$\hat{I}$与输入$I$相同，因此引入循环一致性损失来约束其像素级一致性:
$${\mathcal{L}}_{\text{cycle }}\left(I^{\prime },I\right)=\frac{1}{hwc}\sqrt{\sum _{i,j,k}{\left(I_{i,j,k}^{\prime }-I_{i,j,k}\right)}^2}.$$

Total Variation Loss

为了抑制生成图像中的噪声，Aly等人[140]在SR中引入了Total Variation Loss(TV)[139]。定义为相邻像素之间的绝对差之和，度量图像中噪声的大小，如下所示:
$${\mathcal{L}}_{\mathrm{TV}}(\hat{I})=\frac{1}{hwc}\sum _{i,j,k}\sqrt{{\left({\hat{I}}_{i,j+1,k}-{\hat{I}}_{i,j,k}\right)}^2+{\left({\hat{I}}_{i+1,j,k}-{\hat{I}}_{i,j,k}\right)}^2}$$
Lai et al.[25]和Yuan et al.[131]也采用了TV loss来增加空间平滑度。

Prior-Based Loss

除上述损失函数外，Prior-Based Loss还引入了外部先验知识来约束损失函数的生成。具体来说，Bulat等人的[30]关注于人脸图像SR，并引入了人脸对齐网络(FAN)来约束人脸地标的一致性。在此基础上，本文提出的Super-FAN算法既提高了LR人脸对齐的性能，又提高了人脸图像识别的性能。
实际上，引入分类网络的内容损失和纹理损失本质上为SR提供了层次图像特征的先验知识，通过引入更多的先验知识，SR的性能可以进一步提高。

参考：《Deep Learning for Image Super-resolution: A Survey》