【傅里叶级数与傅里叶变换】数学推导——3、[Part4:傅里叶级数的复数形式] + [Part5:从傅里叶级数推导傅里叶变换] + 总结


文章内容来自DR_CAN关于傅里叶变换的视频,本篇文章提供了一些基础知识点,比如三角函数常用的导数、三角函数换算公式等。

文章全部链接:
基础知识点
Part1:三角函数系的正交性
Part2:T=2π的周期函数的傅里叶级数展开
Part3:周期为T=2L的函数展开
Part4:傅里叶级数的复数形式
Part5:从傅里叶级数推导傅里叶变换
总结


文章目录

  • Part4:傅里叶级数的复数形式
  • Part5:从傅里叶级数推导傅里叶变换
  • 总结


Part4:傅里叶级数的复数形式

前面的部分得到了对于周期为 T T T的函数,有 L = 2 T L = \frac{2}{T} L=T2其傅里叶级数的展开函数形式:

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n ω t + b n s i n n ω t ) a 0 = 2 T ∫ 0 T f ( t ) d t a n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s n ω t d t b n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n n ω t d t \begin{align} f(t) & = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n cos n \omega t + b_n sin n \omega t \right) \\ a_0 & = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt \\ a_n & = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos n \omega t dt \\ b_n & = \frac{2} {T} \int_{0}^{T} f(t) sin n \omega t dt \end{align} f(t)a0anbn=2a0+n=1(ancost+bnsinnωt)=T20Tf(t)dt=T20Tf(t)costdt=T20Tf(t)sinnωtdt

在了解傅里叶级数的复数形式之前,需要了解欧拉公式

e i θ = c o s θ + i s i n θ e^{i \theta} = cos \theta + i sin \theta eiθ=cosθ+isinθ

由欧拉公式可以得到:

c o s θ = e i θ + e − i θ 2 s i n θ = − i 2 ( e i θ − e − i θ ) \begin{align} cos \theta = \frac{e^{i \theta } + e^{-i \theta}}{2} \\ sin \theta = - \frac{i}{2} (e^{i \theta } - e^{-i \theta}) \end{align} cosθ=2eiθ+eiθsinθ=2i(eiθeiθ)

计算 c o s θ cos \theta cosθ s i n θ sin \theta sinθ的方法,令 θ = − θ \theta = - \theta θ=θ,代入欧拉公式,组成一个方程组:
{ e i θ = c o s θ + i s i n θ e − i θ = c o s θ − i s i n θ \left\{\begin{matrix} e^{i \theta} = cos \theta + i sin \theta \\ e^{-i \theta} = cos \theta - i sin \theta \end{matrix}\right. {eiθ=cosθ+isinθeiθ=cosθisinθ
两式相加得到 c o s θ cos \theta cosθ,两式相减得到 s i n θ sin \theta sinθ


将复数形式得到的 c o s θ cos \theta cosθ s i n θ sin \theta sinθ代入傅里叶级数展开函数,有:

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 ( e i n ω t + e − i n ω t ) − i b n 2 ( e i n ω t − e − i n ω t ) ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n − i b n 2 e i n ω t + a n + i b n 2 e − i n ω t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n − i b n 2 e i n ω t + ∑ n = 1 ∞ a n + i b n 2 e − i n ω t \begin{align} f(t) & = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_n}{2} (e^{in \omega t} + e^{-i n \omega t}) - \frac{i b_n} {2} (e^{i n \omega t} - e^{-i n \omega t}) \right) \\ & = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_n - i b_n}{2} e^{in \omega t} + \frac{a _n + i b_n}{2} e^{-i n \omega t}\right) \\ & = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n - i b_n}{2} e^{in \omega t} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a _n + i b_n}{2} e^{-i n \omega t} \end{align} f(t)=2a0+n=1(2an(einωt+einωt)2ibn(einωteinωt))=2a0+n=1(2anibneinωt+2an+ibneinωt)=2a0+n=12anibneinωt+n=12an+ibneinωt

对上式第三项,令 n = − n n=-n n=n,转换为:

f ( t ) = ∑ n = 0 0 a 0 2 e i n ω t + ∑ n = 1 ∞ a n − i b n 2 e i n ω t + ∑ n = − ∞ − 1 a − n + i b − n 2 e i n ω t f(t) = \sum_{n=0}^{0} \frac{a_0}{2} e^{i n \omega t} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n - i b_n}{2} e^{in \omega t} + \sum_{n=- \infty}^{-1} \frac{a _{-n} + i b_{-n} } {2} e^{i n \omega t} f(t)=n=002a0einωt+n=12anibneinωt+n=12an+ibneinωt

可以发现在区间 ( − ∞ , ∞ ) (- \infty, \infty) (,)之间有共同项 e i n ω t e^{i n \omega t} einωt,令共同项的系数为 C n C_n Cn,那么就得到:

f ( t ) = ∑ − ∞ ∞ C n e i n ω t C n = { a 0 2 , n = 0 1 2 ( a n − i b n ) , n = 1 , 2 , 3 , . . . 1 2 ( a − n + i b − n ) , n = − 1 , − 2 , − 3 , . . . f(t) = \sum_{- \infty}^{\infty} C_n e^{in \omega t} \\ C_n = \left\{\begin{matrix} \frac{a_0}{2}, & n=0 \\ \frac{1}{2}\left( a_n - i b_n \right), & n= 1, 2,3,... \\ \frac{1}{2} \left ( a_{-n} + i b_{-n} \right), & n = -1, -2, -3, ... \end{matrix}\right. f(t)=CneinωtCn= 2a0,21(anibn)21(an+ibn)n=0n=1,2,3,...n=1,2,3,...

a 0 a_0 a0 a n a_n an b n b_n bn代入到 C n C_n Cn

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n ω t + b n s i n n ω t ) a 0 = 2 T ∫ 0 T f ( t ) d t a n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s n ω t d t b n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n n ω t d t \begin{align} f(t) & = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n cos n \omega t + b_n sin n \omega t \right) \\ a_0 & = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt \\ a_n & = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos n \omega t dt \\ b_n & = \frac{2} {T} \int_{0}^{T} f(t) sin n \omega t dt \end{align} f(t)a0anbn=2a0+n=1(ancost+bnsinnωt)=T20Tf(t)dt=T20Tf(t)costdt=T20Tf(t)sinnωtdt

n = 0 n=0 n=0时,

C n = a 0 2 = 1 2 ⋅ 2 T ∫ 0 T f ( t ) d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t C_n = \frac{a_0}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)dt = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt Cn=2a0=21T20Tf(t)dt=T10Tf(t)dt

n > 0 , n ∈ Z n>0, n \in Z n>0,nZ时,

C n = 1 2 [ 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s n ω t d t − i 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n n ω t d t ] = 1 T ∫ 0 T f ( t ) ( c o s n ω t − s i n n ω t ) d t c o s n ω t − s i n n ω t = c o s ( − n ω t ) + s i n ( − n ω t ) = e − i n ω t C n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t C_n = \frac{1}{2}\left[ \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos n \omega t dt - i \frac{2} {T} \int_{0}^{T} f(t) sin n \omega t dt \right] \\ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \left ( cos n \omega t - sin n \omega t \right) dt \\ cos n \omega t - sin n \omega t = cos (- n \omega t) + sin (- n \omega t) = e^{- i n \omega t} \\ C_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{- i n \omega t} dt Cn=21[T20Tf(t)costdtiT20Tf(t)sinnωtdt]=T10Tf(t)(costsinnωt)dtcostsinnωt=cos(t)+sin(t)=einωtCn=T10Tf(t)einωtdt

n < 0 , n ∈ Z n<0, n \in Z n<0,nZ时,

C n = 1 2 ( a − n + i b − n ) = 1 2 [ 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s ( − n ω t ) d t + i ⋅ 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n ( − n ω t ) d t ] = 1 T ∫ 0 T f ( t ) [ c o s ( − n ω t ) + s i n ( − n ω t ) ] d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t C_n = \frac{1}{2} \left ( a_{-n} + i b_{-n} \right) \\ = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos \left( - n \omega t \right) dt + i \cdot \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) sin (- n \omega t) dt \right] \\ = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t) \left[ cos (- n \omega t) + sin (- n \omega t) \right] dt \\ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{- i n \omega t} Cn=21(an+ibn)=21[T20Tf(t)cos(t)dt+iT20Tf(t)sin(t)dt]=T10Tf(t)[cos(t)+sin(t)]dt=T10Tf(t)einωt

n = 0 n=0 n=0时,

C n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t C_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{- i n \omega t} dt Cn=T10Tf(t)dt=T10Tf(t)einωtdt

从上面可以看出来,在 ( − ∞ , ∞ ) (- \infty , \infty) (,)区间内, C n C_n Cn可以统一到一个形式: C n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t C_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e ^{- i n \omega t}dt Cn=T10Tf(t)einωtdt


总结,对于一个周期为 T T T的函数 f ( t ) = f ( t + T ) f(t) = f(t+T) f(t)=f(t+T),其复数形式的傅里叶展开函数为:
f ( t ) = ∑ − ∞ ∞ C n e i n ω t C n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t f(t) = \sum_{- \infty}^{\infty} C_n e^{i n \omega t} \\ C_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{- i n \omega t}dt f(t)=CneinωtCn=T10Tf(t)einωtdt


Part5:从傅里叶级数推导傅里叶变换

前面得到了周期函数复数形式的傅里叶展开函数,令 ω 0 = 2 π T \omega _0 = \frac{2 \pi}{T} ω0=T2π ω 0 \omega_0 ω0被称为基频率。

f T ( t ) = ∑ − ∞ ∞ C n e i n ω 0 t C n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − i n ω 0 t d t 其中 n ∈ Z \begin{align} & f_T(t) = \sum_{- \infty}^{\infty} C_n e^{i n \omega_0 t} \\ & C_n = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t) e^{- i n \omega_0 t}dt \\ & 其中n \in Z \end{align} fT(t)=Cneinω0tCn=T12T2TfT(t)einω0tdt其中nZ

对于一个周期函数,假设其图示如下,横坐标为 t t t,纵坐标为对应的值,这是在时域空间上的图。

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如果采用如下图所示的坐标系,以 n ω 0 n \omega_0 nω0 x x x坐标,实轴和虚轴分别为 z z z y y y坐标,这是在频域空间上的图,也称为频谱图。可能其分布如下(如下值是随机绘制的,不对应上图,假设存在这样的频谱图)。

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令两个频率之间的距离为 Δ ω \Delta \omega Δω,那么 Δ ω = ( n + 1 ) ω 0 − n ω 0 = ω 0 = 2 π T \Delta \omega = (n+1) \omega_0 - n \omega_0 = \omega_0 = \frac{2 \pi}{T} Δω=(n+1)ω0nω0=ω0=T2π,可以得到 1 T = Δ ω 2 π \frac{1}{T} = \frac{\Delta \omega}{2 \pi} T1=2πΔω

当周期 T T T趋近于 ∞ \infty 时,周期函数就变为了非周期函数 lim ⁡ T → ∞ f T ( t ) = f ( t ) \lim_{T \to \infty} f_T(t) = f(t) limTfT(t)=f(t) Δ ω \Delta \omega Δω就变成了0,从而离散函数变为了连续函数。

C n C_n Cn 1 T \frac{1}{T} T1代入到傅里叶级数展开函数:

f T ( t ) = ∑ − ∞ ∞ Δ ω 2 π ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − i n ω 0 t d t e i n ω 0 t f_T(t) = \sum_{- \infty}^{\infty} \frac{\Delta \omega}{2 \pi} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t) e^{-i n \omega_0 t} dt e^{i n \omega_0 t} fT(t)=2πΔω2T2TfT(t)einω0tdteinω0t

T → ∞ T \to \infty T时,令 n ω 0 = ω n \omega_0 = \omega nω0=ω ∫ − T 2 T 2 d t → ∫ − ∞ ∞ d t \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} dt \to \int_{- \infty}^{\infty} dt 2T2Tdtdt ∑ − ∞ ∞ Δ ω → ∫ − ∞ ∞ d ω \sum_{- \infty}^{\infty} \Delta \omega \to \int_{- \infty}^{\infty} d \omega Δωdω。代入到上面的式子:

lim ⁡ T → ∞ f T ( t ) = f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t ) e i ω t d ω \lim_{T \to \infty} f_T(t) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} \left( \int_{- \infty}^{\infty} f(t) e^{- i \omega t} dt \right) e^{i \omega t} d \omega TlimfT(t)=f(t)=2π1(f(t)etdt)etdω

中间括号括起来的部分就是傅里叶变换函数 F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t F(\omega) = \int_{- \infty}^{\infty} f(t) e^{- i \omega t} dt F(ω)=f(t)etdt,而 f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( T ) e i ω t d ω f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} f(T) e^{i \omega t} d \omega f(t)=2π1f(T)etdω是傅里叶变换的逆变换。


总结

在Part1中,认识到三角函数系的正交性,有:

∫ − π π s i n n x c o s m x = 0 ∫ − π π c o s n x s i n m x = 0 ∫ − π π c o s n x c o s m x = { 0 , m ≠ n 2 π , m = n = 0 π , m = n ≠ 0 ∫ − π π s i n n x c o s m x = { 0 , m ≠ n 或 m = n = 0 π , m = n ≠ 0 \begin{align} & \int_{-\pi}^{\pi} sin n x cos m x = 0 \\ & \int_{- \pi}^{\pi}cos n x sin m x = 0 \\ & \int_{- \pi}^{\pi} cos n x cos m x = \left\{ \begin{matrix} 0 , & m \ne n \\ 2 \pi , & m = n =0 \\ \pi , & m = n \ne 0 \end{matrix} \right. \\ & \int_{- \pi}^{\pi} sin n x cos m x = \left\{ \begin{matrix} 0, & m \ne n 或 m = n =0 \\ \pi , & m = n \ne 0 \end{matrix} \right. \end{align} ππsinnxcosmx=0ππcosnxsinmx=0ππcosnxcosmx= 0,2π,π,m=nm=n=0m=n=0ππsinnxcosmx={0,π,m=nm=n=0m=n=0

在Part2中,推导了 T = 2 π T = 2 \pi T=2π的周期函数的傅里叶级数展开为:

f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n x + b n s i n n x ) f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n cos nx + b_n sin nx \right) f(x)=2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)

计算 a 0 a_0 a0,对 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [π,π]之间积分,得到 a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx a0=π1ππf(x)dx
计算 a n a_n an,等式两边同乘以 c o s m x cos mx cosmx,然后计算在 [ − π , π ] [- \pi, \pi] [π,π]之间的积分,得到 a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s n x d x a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) cos nx dx an=π1ππf(x)cosnxdx

计算 b n b_n bn,等式两边同乘以 s i n m x sin mx sinmx,然后计算在 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [π,π]之间的积分,得到 b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n n x d x b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) sin nx dx bn=π1ππf(x)sinnxdx

在Part3中,推导了 T = 2 L T=2L T=2L的周期函数的傅里叶级数展开为,令 x = π L t → t = L π x x = \frac{\pi}{L}t \to t = \frac{L}{\pi}x x=Lπtt=πLx,将 x x x代入Part2中的公式,得到:

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n π L t + b n s i n n π L t ) a 0 = 1 L ∫ − L L f ( t ) d t a n = 1 L ∫ − L L f ( t ) c o s n π L t d t b n = 1 L ∫ − L L f ( t ) s i n n π L d t \begin{align} & f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n cos \frac{n \pi}{L}t + b_n sin \frac{n \pi}{L}t \right) \\ & a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) dt \\ & a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) cos \frac{n \pi}{L}t dt \\ & b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) sin \frac{n \pi}{L}dt \end{align} f(t)=2a0+n=1(ancosLt+bnsinLt)a0=L1LLf(t)dtan=L1LLf(t)cosLtdtbn=L1LLf(t)sinLdt

在Part4中,使用欧拉公式,用复指数的形式得到周期为 T T T的周期函数的傅里叶级数展开,该形式使得函数看起来更简洁,经过一系列变换,用 C n C_n Cn替代了上面复杂的系数,令 ω 0 = 2 π T \omega _0 = \frac{2 \pi}{T} ω0=T2π

f ( t ) = ∑ − ∞ ∞ C n e i n ω 0 t C n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω 0 t d t f(t) = \sum_{- \infty}^{\infty} C_n e^{i n \omega_0 t} \\ C_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-i n \omega_0 t}dt f(t)=Cneinω0tCn=T10Tf(t)einω0tdt

在Part5中,从傅里叶级数展开函数推导出傅里叶变换及反变换函数。当周期 T T T趋近于 ∞ \infty 时,周期函数会变为非周期函数,此时从离散数据变为了连续数据,令 ω = n ω 0 \omega = n \omega_0 ω=nω0;又有 ∑ − ∞ ∞ ω 0 → ∫ − ∞ ∞ d ω \sum_{- \infty}^{\infty} \omega_0 \to \int_{-\infty}^{\infty}d \omega ω0dω ∫ 0 T d t → ∫ − ∞ ∞ d t \int_{0}^{T} dt \to \int_{- \infty}^{\infty} dt 0Tdtdt,就得到非周期函数的傅里叶级数展开函数为:

f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t ) e i ω t d ω f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left ( \int_{- \infty}^{\infty} f(t)e ^{- i \omega t} dt \right) e^{i \omega t } d \omega f(t)=2π1(f(t)etdt)etdω

中间括号部分就是傅里叶变换函数$F(\omega) = \int_{- \infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt ,而 ,而 ,而f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty}F(\omega) e^{i \omega t} d \omega$是傅里叶变换的逆变换。

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