2022-06-10

本周讨论的文章是 Jordan Cotler and Kristan Jensen, "A precision test of averaging in AdS/CFT"

想法和之前subleading Weingarten的文章类似：test AdS/Ensemble duality

如果这个duality成立的话，就会期待bulk里面的计算都应该有ensemble 的解释。比如在JT/matrix model 对偶里，bulk里面的所有wormhole的振幅都对应了matrix model 里面的关联函数。

这其实和我们熟悉的JT/SYK的对偶有点不太一样，比如我们会想SYK的spectral form factor是对应了JT 的double cone solution，这个solution是on-shell（是一个saddle point）的。所以直觉上会认为统计平均是和bulk里面on-shell 的东西对应起来的。
还要一个类似的直觉是，如果我们考虑不做average 的SYK的话，就不能自然的引入G，Sigma 这样的collective variable，也就没有semi-classical的描述，所以也很难想象bulk对应了什么，
再加上另外一个直觉，如果我们坚信AdS/CFT而不是引力/统计对偶，那么一个比较自然的想法是，统计的描述只是某种近似。结合上一个直觉，就会想ensemble只是描述了semi-classical的部分，也就是on-shell 的部分。

即使在JT/matrix model 对偶里，虽然wormhole是off-shell的，但是这些wormhole构造很特殊：他们的conformal 边界，the trumpet，几乎是on-shell 的。几乎的意义是两重：我们可以在trumpet的边界添加适当的边界条件使得它变成真正的解；还有就是这个解有一个free parameter，用术语就是他有一个tree-level 的moduli space。
然后其他的wormhole其实对这些moduli space的一个积分，当然还要包括bulk里面moduli space的积分，比如Weil-Petersson volume 的部分。
虽然这些wormhole 有统计解释，但是我们并不知道这些moduli space parameter在matrix model 里对应了什么。

想问的问题就是：bulk里面off-shell 的构型的ensemble 解释是什么？或者是否有统计解释？也可以反过来想，一个ensemble的计算是否都有bulk的解释？

今天这篇文章是基于作者之前的关于高维虫洞的构造的工作。在之前的工作里，他们利用constrained instanton或者 fixing-gauge gravity的办法构造了高维的边界是torus的虫洞。这些虫洞虽然是off-shell的，但是他们可以看成某种soliton。虽然单个的贡献还是很小的，但是这些解有free parameter，对这个parameter积分后的结果被理解为完整的虫洞振幅。这个振幅可以用来解释ensembleCFT的类似的spectral form factor。这个虫洞振幅和JT的虫洞振幅类似，虽然都是off-shell的，但是确实有统计解释。
那么我们可以问如果不对free parameter 积分，单看一个这种constrained instanton，他们叫macroscopic wormhole，是否有统计解释？这个macroscopic wormhole有统计解释的证据是：macroscopic wormhole amplitude的确有一个smooth的ramp。最后这篇文章是给了一个统计解释：如果full wormhole amplitude对应了spectral form factor，那么 macroscoplic wormhole对应了某种canonical spectral form factor。

之后他们考虑了parameter correlation function来test 这个想法。一般的spectral form factor是对一个Hamiltonian or matrix 定义的。其实可以稍微推广一下，考虑两个很接近的Hamiltonian对应的spectral form factor。这种计算在literature里面还是有一些结果的，问题是能不能在bulk里面得到同样的结果。首先在large N 下可以假设ETH，就是用thermal ensemble来做近似，就可以要这个特殊的spectral form factor写成类似thermal correlation function，在bulk里面就对应了一个eternal black hole的背景。然后做一个orbifold，就能得到一个我们想要的double-cone的背景。当然具体还有很多技术细节。

总的来说，比较有意思的问题是，怎么找到更多的关于off-shell 和 ensemble average的联系。