3D空间中射线与轴向包围盒AABB的交叉检测算法
引言
在上一节中，我讲述了如何实现射线与三角形的交叉检测算法。但是，我们应该知道，在游戏开发中，一个模型有很多的三角形构成，如果要对所有的物体，所有的三角形进行这种检测，就算现在的计算机运算能力，也是无法高效的完成。所以，我们需要通过其他的手段来提早剔除一些不可能发生交叉的物体，这种早退的思想，大量的运用在3D游戏技术中。在本篇文章中，我将像大家讲述如何实现射线与轴向包围盒AABB的交叉检测。如果读者不明白什么是轴向包围盒，请看这篇文章。
Ray-AABB交叉检测算法
现如今，有很多的Ray-AABB交叉检测算法，这里主要讲述一种称之为"Slabs method"的交叉检测算法。
在3D空间中，我们先确定正对着射线的三个面，也就是说，我们可以通过某种方式将AABB相对于射线Ray的背面给忽略掉，从而确定三个候选的面。这三个候选的面，就是有可能和射线Ray发生交叉的最近的面。同时，我们还需要知道一个事实：当射线与这三个候选面中的一个发生交叉之后，射线Ray的原点到这个面的距离要比到其他几个面的距离要长。
如果对于上面的事实不是很清楚的话，我们来看下图：
在上图中，我们的射线在右下角，向左上角发射。所以，候选面就是y1面，和x2面(这里由于讲述的方便，使用2D图形来表示)。ty是射线到y1面的距离，tx是射线到x2的距离。从上图中可以看出tx > ty， 而射线与x2平面相交叉。
通过上图，大家就应该明白了，上面那个事实的含义了。这个算法也就是基于此等事实来实现的。
我们知道射线的公式为R(t) = O + t * D，上图中所说的射线到某个面的距离，实际上就是射线原点到射线与该平面的交叉点的距离，而这个距离，刚好就是我们将平面方程带入R(t) = O + t * D中，计算出来的t的值。所以，我们现在要做的就是确定哪几个面试候选面，并且将候选面的方程带入到R(t) = O + t * D中，求出t的值，同时我们还要确保求出的交叉点在AABB盒上，才能够算作发生了交叉，如果仅仅是求出最大的t值，而不保证交点是否在AABB盒上，算法也是无效的。
在上面，讲述了算法的大概流程，但是，还有几个问题需要解决。
首先：
1.如何确定候选面
2.如何确定候选面的方程
3.如何对交叉点是否在AABB盒上进行判断
下面我们来依次解决这几个问题。
对于问题1，很简单，如上图中的y1平面和y2平面来说，只要将平面方程带入射线Ray的方程，求出这两个平面的t值，然后t值较小的那个自然先与射线交叉，那么就表示它是一个候选面了。可以看出，解决这个问题的方法还是要确定平面的方程。这个问题刚好是问题2。
我们可以使用如下的方程来表示某一个候选面的方程：
X * n = d ; 其中X表示的就是该候选面上的点，n表示的是该面的法线，注意一个面有两个法线，我们使用的法线并不是像3D图形学中某个顶点法线那样的定义，在这里，我们一致使用某个分量为1的法线，也就是说，如果上面的方程表示的是AABB盒的左面的面，那么公式中的n表示的就是(1,0,0)，但上面的公式表示的是AABB盒的右边的面的时候，n表示的值依然是(1,0,0)。读者看到这里，可能要骂娘了，为毛这么搞，干嘛要搞一样的法线，为什么不像DirectX里面定义顶点法线那样来定义了？额，这样表示其实是一个编程技巧，当后面看代码的时候，就能够明白这样做的好处了。在明白了n怎么样表示之后，还剩下d。这里的d表示的就是这个AABB盒的这个面在垂直于该面的那个轴上的分量。也就是说，如果上面表示的是AABB盒的左边的面的时候，d表示的就是这个面上所有点的x坐标（由于是轴向包围盒AABB，所以左边的面的x坐标都是一样的）。注意，这里表示的是坐标值，也就是表示带有方向的。这样说，读者可能又不理解了，平面上的点和平面的法线点积怎么可能会是负值了。额，的确，如果使用的是DirectX中顶点的法线定义方式的时候，从原点到平面上的点所构成的向量与DirectX法线的点积肯定是一个正数，但是亲爱的读者啊，我这里使用的并不是那种法线定义方式，所以还请原谅，这里的d值有可能就是负值了。
好了，费了很大的力气讲解这个公式的来历，希望读者可以好好的明白下上面那些话的意义。通过上面的公式，我们就能够将这个公式带入到射线方程中，从而得到如下的结果：
t = (d - O * n) / (D * n) 。对于AABB盒来说，它的面的法线总是有两个分量是0，而另外一个分量由于我上面讲述的那种技巧，使得那个分量总是为1，所以就能够得到如下的统一的t值公式：
当候选面垂直与x轴的两个面时，t = (d - Ox) / Dx
当候选面垂直与y轴的两个面时，t = (d - Oy) / Dy
当候选面垂直与z轴的两个面时，t = (d - Oz) / Dz
有了方程之后，我们就可以求出t值了。
现在就剩下最后一个问题了，如何确保求出的t值所表示的那个交叉点是在AABB盒上的了？？
为了求出这个问题，我们需要在求t值的过程中，保留另外三个并不是候选面t值。然后，通过这些t值来确定是否在AABB盒上。这个过程将在代码中展示出来，因为只是简单的比较操作，所以不再赘述。
Ray-AABB交叉算法实现
下面是我实现的一个版本的代码：
bool Ray::intersectWithAABB(AABB* a, VECTOR3* vcHit)
{
float tmin = 0.0f ;
float tmax = FLT_MAX ;
//The plane perpendicular to x-axie
if(abs(dir.x) < 0.000001f) //If the ray parallel to the plane
{
//If the ray is not within AABB box, then not intersecting
if(origin.x < a->min.x || origin.x > a->max.x)
return false ;
}
else
{
//Compute the distance of ray to the near plane and far plane
float ood = 1.0f / dir.x ;
float t1 = (a->min.x - origin.x) * ood ;
float t2 = (a->max.x - origin.x) * ood ;
//Make t1 be intersecting with the near plane, t2 with the far plane
if(t1 > t2)
{
float temp = t1 ;
t1 = t2 ;
t2 = temp ;
}
//Compute the intersection of slab intersection intervals
if(t1 > tmin) tmin = t1 ;
if(t2 < tmax) tmax = t2 ;
//Exit with no collision as soon as slab intersection becomes empty
if(tmin > tmax) return false ;
}// end for perpendicular to x-axie
//The plane perpendicular to y-axie
if(abs(dir.y) < 0.000001f) //If the ray parallel to the plane
{
//If the ray is not within AABB box, then not intersecting
if(origin.y < a->min.y || origin.y > a->max.y)
return false ;
}
else
{
//Compute the distance of ray to the near plane and far plane
float ood = 1.0f / dir.y ;
float t1 = (a->min.y - origin.y) * ood ;
float t2 = (a->max.y - origin.y) * ood ;
//Make t1 be intersecting with the near plane, t2 with the far plane
if(t1 > t2)
{
float temp = t1 ;
t1 = t2 ;
t2 = temp ;
}
//Compute the intersection of slab intersection intervals
if(t1 > tmin) tmin = t1 ;
if(t2 < tmax) tmax = t2 ;
//Exit with no collision as soon as slab intersection becomes empty
if(tmin > tmax) return false ;
}// end for perpendicular to y-axie
//The plane perpendicular to z-axie
if(abs(dir.z) < 0.000001f) //If the ray parallel to the plane
{
//If the ray is not within AABB box, then not intersecting
if(origin.z < a->min.z || origin.z > a->max.z)
return false ;
}
else
{
//Compute the distance of ray to the near plane and far plane
float ood = 1.0f / dir.z ;
float t1 = (a->min.z - origin.z) * ood ;
float t2 = (a->max.z - origin.z) * ood ;
//Make t1 be intersecting with the near plane, t2 with the far plane
if(t1 > t2)
{
float temp = t1 ;
t1 = t2 ;
t2 = temp ;
}
//Compute the intersection of slab intersection intervals
if(t1 > tmin) tmin = t1 ;
if(t2 < tmax) tmax = t2 ;
//Exit with no collision as soon as slab intersection becomes empty
if(tmin > tmax) return false ;
}// end for perpendicular to z-axie
vcHit->x = origin.x + tmin * dir.x ;
vcHit->y = origin.y + tmin * dir.y ;
vcHit->z = origin.z + tmin * dir.z ;
return true ;
}// end for intersectWithAABB这个代码我大概的解释下，为了保证，在求交点的时候不发生除0异常，该算法先判断此时的方向向量D的某个分量是否为0，如果是的话，只需要简单的判断就能够知道是否与AABB交叉，因为此时射线是与某个轴平行的。
在上面的代码中，除了一直求三个候选平面的最大t值之外，该算法还一直计算了另外三个非候选平面的最小t值，并且自每次计算之后，判断下此时的交叉点的t值，也就是tmin，是否大于tmax，如果是的话，就说明，该轴上求出的t值并不在AABB盒上（只要简单的在草稿纸上画个图，就应该明白这个），而一旦有一个轴上发生了分离，那么我们就不需要进行下面的步骤了，一个轴上发生了分离，则表示射线与AABB盒不可能发生交叉。
程序实例
没有交叉前的截图：
交叉之后的图：
好了，今天的文章到此结束。
参考书： Real time collision detection
Graphics Gems I