数学解释为什么久赌无赢家?

无意间看到一位叫李永乐的老师用数学去解释久赌无赢家,这里复习一下他的解题步骤。

假如一个绝对公平的游戏,50%概率赢了得1元,50%概率输了扣1元,你开始有一定的本金(例如100元).要结束游戏,要么输光(本金100元变成0元),要么赢到一定的期望金额(例如我赢到200元不玩了,或者赢到300元不玩).赢钱和输钱的概率关系如何呢?(比如赢20元的概率是多少,赢100元的概率又是多少)

游戏大致如此

图1.png

解：
假设开始本金n元，输光概率为P(n)，
那么就是如下等式:P(n) = 50% * P(n-1) + 50% * P(n+1)
50% * P(n-1) 是指我们有50%的概率输1元，
50% * P(n+1) 是指我们有50%的概率赢1元。
要么就是50%输，要么就是50%赢。

我们变换一下等式:
P(n) = 50% * P(n-1) + 50% * P(n+1) =>
P(n) = 1/2 * P(n-1) + 1/2 * P(n+1) =>
2P(n) = P(n-1) + P(n+1) =>
P(n) - P(n-1) = P(n+1) - P(n) =>

然后我们可以推断，假如开始本金是0，那么输光的概率就是100%，因为我们开始就没有钱可以输了：
P(0) = 1
又假如我们赢到B元就不玩，假如开始我们本金是B元，那么输光的概率就是0%，因为我都有B元了，没必要继续进行游戏：
P(B) = 0，

如图所示，我们每一个格子都是相差1，总长度是0到B（输光是0，赢到B结束），所以这是一个等差数列，那么我们的公差为：
△P= 1/B

再回来假如我们开始本金是A元，那么P(A)可以为：
P(A) = 1 - A * △P = 1 - (A/B)

所以，假如我们开始本金是100元，A=100时候，赢到120元就不玩了，输光概率是:
P(100) = 1 - (100/120) = 1/6 ,
假如我们赢到200元不玩了，输光概率是:
P(200) = 1 - (100/200) = 1/2 （50%）,
假如我们赢到1000元不玩了，输光概率是:
P(200) = 1 - (100/1000) = 9/10 （90%）,
假如我们赢到100,000元不玩了，输光概率是:
P(200) = 1 - (100/100,000) = 999/1000（99.9%） ,

可以看出来，你期望赢的钱越多，输光（本金变成0）的概率就越大。