【生活处处皆算法】巧用约瑟夫环

1、描述

约瑟夫环（约瑟夫问题）是一个数学的应用问题：

已知n个人（以编号1，2，3....n分别表示）围坐在一张圆桌周围。

从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出圈；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出圈；依次规律重复下去，直到剩余最后一个胜利者。

例如：有10个人围成一圈进行此游戏，每个人编号为1-10。若规定数到3的人出圈。则游戏过程如下：

(1) 开始报数，第一个数到3的人为3号，则3号出圈

        1，2，【3】，4，5，6，7，8，9，10

(2) 从4号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为6号，6号出圈

        1，2，【3】，4，5，【6】，7，8，9，10

(3) 从7号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为9号，则9号出圈

        1，2，【3】，4，5，【6】，7，8，【9】，10

(4) 从10重新从1开始计数，由于10个人称环形结构，则接下来数到3的人为2号，2号出圈

        1，【2】，【3】，4，5，【6】，7，8，【9】，10

(5) 从4号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为7号，7号出圈

        1，【2】，【3】，4，5，【6】，【7】，8，【9】，10

(6) 从8号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为1号，1号出圈

        【1】，【2】，【3】，4，5，【6】，【7】，8，【9】，10

(7) 从4号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为8号，8号出圈

        【1】，【2】，【3】，4，5，【6】，【7】，【8】，【9】，10

(8) 从10重新从1开始计数，则接下来数到3的人为5号，5号出圈

        【1】，【2】，【3】，4，【5】，【6】，【7】，【8】，【9】，10

(9) 从10重新从1开始计数，则接下来数到3的人为10，10号出圈

        【1】，【2】，【3】，4，【5】，【6】，【7】，【8】，【9】，【10】

(10) 最终剩余4号，4号为胜利者

2 求解

2.1 数组求解-解题思想

        用数组求解的基本思想就是用一个数组去标识这n个人的状态，默认全为1，也就是都在圈子内。

        当数到m的人出圈之后，标识置为0（就是出圈了），同时报数器清0，下一个要从1开始。

        在每次报数之前要判断他是否在圈子内（也就是他的标识是否为1），如果在圈子里面才会继续报数。定义一个变量记录出圈的人数，出圈            的人数等于n-1时，则游戏结束。

        public function joseph($n, $m) {
            $flag = [];
            for($i = 1; $i <= $n; $i++) {
                    $flag[$i] = 1;
            }
            // 计数器
            $num = 0;
            // 统计出圈的次数
            $count = 0;
            while($count < $n - 1) {
                    for($i = 1; $i <=$n; $i++) {
                            if($flag[$i] == 1) {
                                    $num++;
                                    if($num == $m) {
                                            $num = 0;
                                            $count++;
                                            $flag[$i] = 0;
                                    }
                                    if($count == $n - 1) {
                                              break;
                                    }
                            }
                    }
            }
            for($i = 1; $i <= $n; $i++) {
                    if($flag[$i] == 1) {
                        echo "The last one is：".$i;
                    }
            }
        }