奇异矩阵

参考: 可汗学院线性代数

1、奇异矩阵

如果矩阵A不可逆,则称矩阵A是奇异矩阵。

2、非奇异矩阵

对一个n行n列的非零矩阵A，如果存在一个矩阵B使AB=BA=I（I是单位矩阵），则称A是可逆的，也称A为非奇异矩阵。

3、奇异矩阵的特点

看一个二阶矩阵的例子:
$$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$$

如果矩阵A不可逆,那么: ad = bc.

矩阵A的行列式:
$$\left|A\right|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

也就是说:如果一个矩阵是奇异矩阵,那么他的行列式等于零。

4、奇异矩阵的几何意义

对于2个向量:
$$a=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$

$$b=\left[\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right]$$

组成的矩阵A是一个奇异矩阵:
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right]$$
那么说明向量$a$和$b$是重合或者平行关系。