【数据结构】回溯算法公式化解题 leetcode经典题目带刷：全排列、组合、子集

回溯算法

一、什么是回溯算法

回溯算法（Backtracking Algorithm）是一种解决组合问题、排列问题、选择问题等一类问题的常用算法。它通过尝试所有可能的选择来找到问题的解，当发现当前选择不符合要求时，就回溯到之前的状态，然后尝试其他的选择。

1、基本思想：

1. 从问题的起始点开始，进行尝试，每次选择一个可能的路径。
2. 如果发现当前选择无法达到解决问题的目标，就回退到上一个状态，尝试其他的选择。
3. 不断地重复上述过程，直到找到解决问题的路径，或者遍历完所有可能的选择。

2、一般步骤：

1. 确定问题的解空间和约束条件。
2. 从解空间中选择一个可能的选择，进入下一步。
3. 判断当前选择是否符合约束条件，如果符合，继续深入尝试下一步；如果不符合，回退到上一步。
4. 重复上述步骤，直到找到解，或者遍历完所有可能的选择。

二、题目带练

1、全排列

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分析：
看到这道题的描述，不难想到，如果我们要找出所有的排列方式，就要遍历n次数组，每次选择一个不重复元素排列在上次循环选择的元素后面，那这就出现了一个问题：怎么对一个数组遍历n次？

显然这是不太可能实现的，因为n是不确定的，但是我们可以换一种思路，通过深度来代表遍历次数，也就是我们常说的回溯算法。

根据题意，我们应当设递归出口为 当前递归的深度 == 数组的长度if(depth == nums.length)，同时保存当前的排列方式到集合中。ans.add(new ArrayList<>(path));每次递归的过程中我们需要遍历一次数组for(int i = 0; i < nums.length; i++)，判断当前的元素是否被使用过if(used[i])，如果没被使用那么就将其记录下来，并且标记为使用过，继续进入递归path.add(nums[i]); used[i] = true;。当这次递归结束时dfs(nums,depth + 1,used);，撤销当前元素的使用标记，并且移除记录的集合。path.remove(path.size() - 1); used[i] = false;

效果就是调用方法后，先选择元素1path.add(nums[0]); used[0] = true;，再次调用方法记录深度+1dfs(nums,depth + 1,used);，此时发现1已经被选择过了，开始选择2path.add(nums[1]); used[1] = true;，调用递归，深度+1dfs(nums,depth + 1,used);，同理1,2被标记为使用过的元素，继续选择3path.add(nums[2]); used[2] = true;，然后递归结束。这里会退回到深度为2的那次选择，因为2之后还有别的元素可以选择，选择3后发现只有2可以选了，首选项为1的递归结束，依次类推得到所有排列方式。

代码如下：

class Solution {
    public List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
    public List<Integer> path = new ArrayList<>();
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        boolean[] used = new boolean[nums.length];
        dfs(nums,0,used);
        return ans;
    }

    public void dfs(int[] nums,int depth,boolean[] used){
        if(depth == nums.length){
            ans.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }

        for(int i = 0; i < nums.length; i++){
            if(used[i]){
                continue;
            }
            path.add(nums[i]);
            used[i] = true;
            dfs(nums,depth + 1,used);
            path.remove(path.size() - 1);
            used[i] = false;
        }
    }
}

2、组合

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分析：

这道题与全排列的区别在于，全排列需要全部选择，而这道题不一定要全部选择，并且每个组合只能有一次，所以面对这道题，我们不能按照和之前同样的思路去解，因为无法排除同样组合的组合顺序问题。

那么我们要如何作出改动呢？

其实很简单，我们只需要让每次循环的起始值变为当前的深度即可，同时也不需要判断是否使用过了，因为我们只会向后找，不会从前开始往后找了。

class Solution {
    List<Integer> temp = new ArrayList<Integer>();
    List<List<Integer>> ans = new ArrayList<List<Integer>>();

    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        dfs(1, n, k);
        return ans;
    }

    public void dfs(int depth, int n, int k) {
        if (temp.size() == k) {
            ans.add(new ArrayList<Integer>(temp));
            return;
        }
        for(int i = depth;i <= n;i++){
            temp.add(i);
            dfs(i + 1, n, k);
            temp.remove(temp.size() - 1);
        }
    }
}

3、子集

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分析：

大家看这道题可能会发现，是不是和组合有点相似？区别在哪呢，区别在于子集的选择长度不一定是n，而是[0,n]。

其实我们只需要每次回溯都记录一次结果就好了。

class Solution {
    List<Integer> list = new ArrayList<>();
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        dfs(0,nums);
        return result;
    }

    public void dfs(int current, int[] nums){
        result.add(new ArrayList<>(list));
        if(current == nums.length){
            return;
        }
        for(int i = current; i < nums.length; i++){
            list.add(nums[i]);
            dfs(i + 1, nums);
            list.remove(list.size() - 1);
        }
    }
}

三、公式总结

如果认真看完的朋友可以发现，对于这种基础的回溯题目，我们都可以通过循环+回溯来解决问题，只需要根据具体问题来更改我们的循环条件即可。

当然这么做不一定是最好的，还有许多可以优化的地方，只是说大部分情况可以通过这种循环的方式来解决问题。