(动态规划) 剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列 ——【Leetcode每日一题】

❓ 剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

难度：简单

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1

示例 2：

输入：n = 5
输出：5

提示：

• 0 <= n <= 100

思路：动态规划

如果使用递归求解，会重复计算一些子问题。

• 例如，计算 f(4) 需要计算 f(3) 和 f(2)，计算 f(3) 需要计算 f(2) 和 f(1)，可以看到 f(2) 被重复计算了。
  

• 递归是将一个问题划分成多个子问题求解，动态规划也是如此，

• 但是 动态规划会把子问题的解缓存起来，从而 避免重复求解子问题。

优化：

• 考虑到第 i 项只与第 i-1 和第 i-2 项有关，因此只需要存储前两项的值就能求解第 i 项，从而将空间复杂度由 O(n) 降低为 O(1)。

代码：(C++、Java)

C++

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n <= 1) return n;
        vector<int> fib(n + 1);
        fib[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            fib[i] = (fib[i - 1] + fib[i - 2]) % 1000000007;
        }
        return fib[n] ;
    }
};

Java

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n <= 1) return n;
        int[] fib = new int[n + 1];
        fib[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            fib[i] = (fib[i - 1] + fib[i - 2]) % 1000000007;
        }
        return fib[n] ;
    }
}

优化：
C++

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n <= 1) return n;
        int pre1 = 0, pre2 = 1, tmp = 0;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            tmp = (pre1 + pre2) % 1000000007;
            pre1 = pre2;
            pre2 = tmp;
        }
        return tmp;
    }
};

Java

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n <= 1) return n;
        int pre1 = 0, pre2 = 1, tmp = 0;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            tmp = (pre1 + pre2) % 1000000007;
            pre1 = pre2;
            pre2 = tmp;
        }
        return tmp;
    }
}

运行结果：

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$。
• 空间复杂度：$O(1)$。

题目来源：力扣。

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