(排序) 剑指 Offer 51. 数组中的逆序对 ——【Leetcode每日一题】

❓剑指 Offer 51. 数组中的逆序对

难度:困难

在数组中的两个数字,如果前面一个数字大于后面的数字,则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数。

示例 1:

输入: [7,5,6,4]
输出: 5

限制

  • 0 <= 数组长度 <= 50000

思路:归并排序

预备知识

归并排序」是用分治思想,分治模式在每一层递归上有三个步骤:

  1. 分解(Divide):将 n 个元素分成个含 n/2 个元素的子序列。
  2. 解决(Conquer):用 合并排序法 对两个子序列递归的排序。
  3. 合并(Combine):合并两个已排序的子序列已得到排序结果。


具体的我们以一组无序数列{14,12,15,13,11,16}为例分解说明,如下图所示:

(排序) 剑指 Offer 51. 数组中的逆序对 ——【Leetcode每日一题】_第1张图片

在待排序序列长度为 1 的时候,递归开始「回升」,因为我们默认长度为 1 的序列是排好序的。

具体思路

那么求逆序对和归并排序又有什么关系呢?关键就在于「归并」当中「」的过程。

合并阶段 本质上是 合并两个排序数组 的过程:

  • 每当遇到 左子数组当前元素 > 右子数组当前元素 时,意味着
    • 左子数组当前元素i 至 末尾元素m」 与 「右子数组当前元素」 构成了若干 「逆序对」 ;
    • 逆序对数 cnts += (m - i + 1)
  • 考虑在归并排序的合并阶段统计「逆序对」数量,完成归并排序时,也随之完成所有逆序对的统计。

代码:(C++、Java)

C++

class Solution {
private:
    int cnts = 0;
    void mergeSort(vector<int>& nums, vector<int>& tmp, int l, int h){
        if(h - l < 1) return;
        //分解
        int m = l + (h - l) / 2;
        mergeSort(nums, tmp, l, m);
        mergeSort(nums, tmp, m + 1, h);
        //解决 + 合并
        int k = l, i = l, j = m + 1;
        while(i <= m || j <= h){
            if(i > m) tmp[k++] = nums[j++];
            else if(j > h || nums[i] <= nums[j]) tmp[k++] = nums[i++];
            else{//此时i~m对应数组中的数都比nums[j]大
                tmp[k++] = nums[j++];
                cnts += (m - i + 1);
            } 
        }
        for(k = l; k <= h; k++){
            nums[k] = tmp[k];
        }
    }
public:
    int reversePairs(vector<int>& nums) {
        vector<int> tmp(nums.size());//辅助数组,临时记录中间合并的子数组
        mergeSort(nums, tmp, 0, nums.size() - 1);
        return cnts;
    }
};

Java

class Solution {
    private int cnts = 0;
    private void mergeSort(int[] nums, int[] tmp, int l, int h){
        if(h - l < 1) return;
        //分解
        int m = l + (h - l) / 2;
        mergeSort(nums, tmp, l, m);
        mergeSort(nums, tmp, m + 1, h);
        //解决 + 合并
        int k = l, i = l, j = m + 1;
        while(i <= m || j <= h){
            if(i > m) tmp[k++] = nums[j++];
            else if(j > h || nums[i] <= nums[j]) tmp[k++] = nums[i++];
            else{//此时i~m对应数组中的数都比nums[j]大
                tmp[k++] = nums[j++];
                cnts += (m - i + 1);
            } 
        }
        for(k = l; k <= h; k++){
            nums[k] = tmp[k];
        }
    }
    public int reversePairs(int[] nums) {
        int[] tmp = new int[nums.length];//辅助数组,临时记录中间合并的子数组
        mergeSort(nums, tmp, 0, nums.length - 1);
        return cnts;
    }
}

运行结果:

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复杂度分析:

  • 时间复杂度 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn),其中 n 为数组的长度,同归并排序 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)
  • 空间复杂度 O ( n ) O(n) O(n),归并排序需要用到一个临时数组。

题目来源:力扣。

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