LightOJ 1095 Arrange the Numbers（容斥原理）

题目链接：http://www.lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1095

题意：给出数字n,m,K(0<K<=m<=n)。在n个数字(1到n)的所有全排列中(有n!个)，有多少个满足前m个数字恰有K个数字是不变的？

思路：首先应该在前m个中选出K个作为不变的，有C(m,K)种，接着，前m个中剩下的m-K个必须都不能自己放自己。后面还有n-m位，设p=m-K,q=n-m，则(p+q)!，即将剩余所有位全排列，这样肯定有前m位中剩下的m-K位放自己，所以要减去这些，根据容斥原理答案为C(m,K)*∑C(p,i)*(p+q-i)!*((-1)^i)(1<=i<=p)。

 

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 #include <iostream>

 #include <cstdio>

 #include <cstring>

 #define int64 long long

 using namespace std;

 

 const int64 MOD=1000000007;

 int C,num=0;

 int n,m,K;

 int64 b[1005],a[1005];

 

 int64 exGcd(int64 a,int64 b,int64 &x,int64 &y)

 {

     int64 r,t;

     if(b==0)

     {

         x=1;

         y=0;

         return a;

     }

     r=exGcd(b,a%b,x,y);

     t=x;

     x=y;

     y=t-a/b*y;

     return r;

 }

 

 

 void init()

 {

     int64 i,x,y;

     for(i=1;i<=1000;i++)

     {

         exGcd(i,MOD,x,y);

         a[i]=x;

         a[i]=(a[i]%MOD+MOD)%MOD;

     }

     b[0]=1;

     b[1]=1;

     for(i=2;i<=1000;i++) b[i]=b[i-1]*i%MOD;

 }

 

 int64 ok(int n,int m)

 {

     int64 ans=1;

     int i;

     for(i=n;i>=n-m+1;i--) ans=ans*i%MOD;

     for(i=1;i<=m;i++) ans=ans*a[i]%MOD;

     return ans;

 }

 

 int64 cal()

 {

     int64 ans=ok(m,K),temp;

     int i,t=-1,p=m-K,q=n-m;

     temp=b[p+q];

     for(i=1;i<=p;i++)

     {

         temp+=t*b[p+q-i]%MOD*ok(p,i)%MOD;

         temp%=MOD;

         t*=-1;

     }

     if(temp<0) temp+=MOD;

     return ans*temp%MOD;

 }

 

 int main()

 {

     init();

     for(scanf("%d",&C);C--;)

     {

         scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);

         printf("Case %d: %lld\n",++num,cal());

     }

     return 0;

 }