线性代数的本质笔记（3B1B课程）
文章目录
- 前言
- 向量
- 矩阵
- 行列式
- 线性方程
- 非方阵
- 点积
- 叉积
前言
最近在复习线代，李永乐的基础课我刷了一下，感觉讲的不够透彻，和我当年学线代的感觉一样，就是不够形象。
比如，行列式为什么那么重要，它的含义究竟是什么？特征值到底代表了什么？等等。说白了，我需要几何直观的理解。
几何直观解决的问题是，我为什么要用这个，有什么用，而数值计算只是让我们能应用罢了，可惜我们只是学了数值计算。
于是我开始刷3b1b的《线性代数的本质》
这篇文章是观看视频后我的个人感悟，可以结合视频一起食用，有解释的不清楚的地方，以视频为准。
线性代数的本质
向量
在线性代数中，向量是以原点为起点的箭头，终点坐标和向量的值是一样的。
因此，向量之间的空间上的运算也可以变成向量值的运算，比如向量和（移动），向量数乘（缩放）。
之所以能够用向量对应向量值，是因为有一个i和j的基底。说白了，就是坐标系。如果基底变了，要保持向量不变的话，向量值就要改变。
总之，用数值（向量值）描述向量，要依赖于基底。
如果两个基底不共线（线性无关），则可以张成一个面，否则只能是一条线
如果是三个线性无关的向量，则可以张成一个三维空间，如果是n个线性无关的向量，则可以张成n维空间，但是这个就是无法想象的了。
如何理解线性相关呢？所谓线性相关，就是说某一个向量落在了其他向量张成的空间内，不需要这个向量了，可以移除这个向量而不影响向量组张成的空间。
假设给定3个向量的向量组，假设两个向量共线，那么必然线性相关（充分条件），但是如果三个向量都不共线，就能说明线性无关了吗？不能。
下面4条等价：
- 线性相关
- 有一个向量落在其他两个向量张成的平面内
- 该向量可以被其他向量线性表出
- 存在不全为0的k，使得
k 1 α 1 + ⋯ + k n α n = 0 k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n=0 k1α1+⋯+knαn=0
前面的都好理解，第4条可以这么理解，基于3，可以得到第i个向量=其他向量的线性组合，那么令 k i = − 1 k_i=-1 ki=−1，不就是一组不全为0的系数，让这个向量组的计算结果=0吗？
矩阵
矩阵有两种含义
- 向量组
- 对向量的线性变换
给定一个向量，乘一个矩阵，就可以变成新向量，这就是矩阵的几何意义。
当一个矩阵里面的所有向量被同时变换，那就是矩阵的线性变换。
但是无论是向量，还是矩阵，其变换都是通过乘以矩阵实现的。
实际上任何函数都可以变换空间，只是线性变换后，曾经的直线还是直线，原点也没有变化。本质在于，线性变换是均匀的，保持网格线平行且等距均匀分布的变换。
用另一个说法去说，就是基底是线性变换的，而曾经的所有向量与基底的关系保持不变，变的，只是向量本身的值，而不是向量和基底的关系。
所以考虑线性变换，我们其实只需要记住两个事情：
- 原始向量和原始基底的关系，这个关系会保持不变
- 基底的情况，这会随着线性变换而变
这两点注意好，无论你怎么变基底，都可以迅速推断出新向量的位置
实际上，对于二维来说，一个向量本身就是 ( i ^ , j ^ ) [ k 1 k 2 ] = k 1 i ^ + k 2 j ^ (\hat{i},\hat{j}) \begin{bmatrix} k_1\\k_2\end{bmatrix}=k_1\hat{i}+k_2\hat{j} (i^,j^)[k1k2]=k1i^+k2j^
而 ( i ^ , j ^ ) (\hat{i},\hat{j}) (i^,j^)本身就是一个矩阵, [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1\ 0\\ 0\ 1 \end{bmatrix} [1 00 1]
可以直观地理解：
- 左边的矩阵，从左到右是n个基底
- 右边的向量代表向量和基底的关系，就是线性标出的系数
- 新的向量就是新的基底的线性组合，最后算出来的值，就是新的基底下，向量的值。
- 新向量按照维度理解，则每一个维度，都是基底按照系数线性组合的结果
进一步总结：任何一个向量都等于基底乘以系数向量，包括最开始的i，j基底。
通过这个思路，就可以理解，旋转和剪切是如何实现的了。
如果新的基底在一条直线上，那么原有的二维空间就会被挤压到一维空间上，这就是降维了。
进一步理解矩阵和矩阵相乘。
如果说一个矩阵描述了新基底，那么另一个矩阵就是把基底再进行一次变换，两次基底的变换可以复合成一次性的线性变换。
所以矩阵乘，有两种理解：
- 把一个空间的每一个向量都变成新的向量，形成新的空间
- 把两个线性变换复合为一个线性变换
按照这个思路去理解，只要不影响从右到左的变换顺序，那么就不影响最终结果，所以矩阵乘具有结合和分配，但是没有交换运算。
行列式
因为是线性变换，所以对于基底向量构成的方格的面积变换，这个比例对于任何方格都是一样的。
即使一个形状不是方格，也可以用方格近似，所以任意面积，在经过线性变换以后，变换的比例是恒定的。
这个面积变换的比例，就是行列式。
为什么存在线性相关向量的矩阵，行列式=0呢？就是因为降维了，导致体积被压缩为0.1
当然，行列式也是有可能出现负值的，那代表什么呢？对于二维空间来说就是翻了个面，学术点就是改变了空间的定向，所谓定向，就是基底的相对位置（比如二维中，正定向是i永远在j左边，三维中，符合右手定则）
为什么把行列式的两行/两列交换后取值要加负号呢？就是因为交换会改变定向，相当于翻了个面。
具体要问行列式怎么计算，下图是二维情况。当然，这就是图一乐，实际上你不会这么去算的，就是理解一下，确实是面积的放大比例。
线性方程
我们先讨论非齐次线性方程。
其几何意义在于，寻找一个线性组合x，让这个向量经过基底A变换后，与v对齐
当然，这种情况是复杂的，线性变换后到底降没降维，可以用秩来描述。秩就是A张成的列空间的维度
如果r（A） 如果A的行列式不为0，也就是说A张成的空间可以把v覆盖，那么就有且只有一个x在变换后能和v重合。 这就是唯一解的条件：r（A）=n（或者行列式≠0），代表满秩，r（A,v）=r（A），代表A可以线性表出v。其实后一个条件压根没必要，只要满秩，A的空间维度一定可以覆盖v。 而且，因为是唯一解，具有一一映射的特性，所以可以通过逆映射，即一个逆向线性变换把v倒回x，这就是逆矩阵。 这不是一一映射，你自然无法把一条线逆向变回一个平面，所以det（A）=0时，没有逆矩阵。 从空间角度理解可逆变换的几何意义，就是不降维的变换。 非齐次说完了，说一下齐次吧。 其次就是v=0的特殊情况，0向量，无论被如何压缩，都可以落在空间之中，所以一定有解。 那么有一个解，还是无穷解，就取决于空间是否被压缩了，比如下面这条线被压缩为一个点的时候，无数个非零向量都被压缩为了0向量。 这就是齐次方程无穷非零解的情况，降维必无穷非零。 我们再来思考一下基础解系。你有想过为什么基础解系基底的数量是n-r（A）个吗？ 以三维举例，如果只压缩 如果压缩 既然是沿着面，那么这整个面上的向量就都会被压缩为0向量，此时就需要用 最后，因为基础解系张成的子空间比较特殊，专门给起了个名字叫矩阵的“零空间”，或者“核”，还是比较形象的，压缩以后只剩一个点了，压缩前那不就是核心嘛。 基础解系就是零空间的基底。 方阵代表同一个维度的空间之间的线性变换（不考虑降维情况） 如果是非方阵，就要考虑m和n了。n列代表输入空间是n维的，m代表输出空间是m维的。 什么意思呢？比如在二维空间中，向量在一个平面上，经过了3×2矩阵，变成了3维向量后，向量存在于空间。 然而这并不代表这个升维后的向量，就能脱离原有的平面，非方阵只是把原有平面抬升到更高维的空间，但是平面还是平面，只是倾斜了，正如一张纸上的线，放到空间中，还是一条线。 说白了，m＞n的情况下，矩阵只是把原来n个低维基底，转移到了高维的空间中，基底仍然是n个 二维也可以压缩到一维，根据线性性质，平面上等距的点，压缩成数后，仍然等距。 这一节比较难，我上来没听懂，关键在于那个对偶性，对偶性容易和对称混淆，其实完全没关系，要是我说的话，对偶性就是一种一一映射，是 点积的计算公式是把对应的坐标相乘，并把结果相加。另一种计算方法是，把一个向量投影到另一个向量上，模之积就是点积。这两个计算方法看起来毫无关系，他们的联系是什么呢？ 记住，我们的目标是发现点积，线性变换，投影的联系，现在讲引理。 我们前面说，线性变换可以把线性的空间变成线性的空间。 那么反过来，只要是把线性空间变成另一个线性空间，就一定有一个，且只有一个唯一的线性变换与之对应。 注意这个唯一性，即使是把二维空间压缩为数轴，不同的压缩方法，其放缩倍数都是不一样的，所以是新的线性空间对应唯一的线性变换。 引理说完了，先来寻找一下和单位向量点积是如何与投影联系起来的。 首先，投影是一个线性变换。把二维空间的向量，投影到一条直线上，很明显这是个线性过程，而且还是二维到一维的。 根据对偶性，只要是线性变换，就一定有一个1×2的矩阵与之对应，即投影矩阵。 此时引入一个单位向量 u ^ \hat{u} u^，根据对称性，i在直线上的投影值（新基底），恰好等于u的x轴 这样，我们就用线性变换表示出了投影运算，这是几何上的联系。 从数值上来看，向量通过投影矩阵进行线性变换，投影到单位向量所在直线上的值，恰好等于向量和单位向量的点积。 投影——（几何）——线性变换——（数值）——点积 整个对于单位向量，证明思路就是这样。 非单位向量呢？ 非单位向量只是单位向量的放缩，计算点积的结果仍然是数，整个过程仍然是从二维到一维，所以仍然对应一个投影矩阵。 只不过因为投影后基底要放缩，所以投影矩阵整体是要比单位向量情况放缩k倍的，这个矩阵可以理解为先投影，再缩放（乘以向量的模）。 至于点积和线性变换，仍然是数值上的联系。如此，投影和点积就彻底联系起来了。 总的来说，这个证明过程用到了线性变换与矩阵的唯一对应性，也就是对偶性。 对于n维变1维的情况，必然有一个n×1的矩阵可以表示这个线性变换，把这个矩阵转置成向量，我们也可以说，任意一个n维变1维的线性变换，一定有一个空间中的向量v与之相关，这就是点积和线性变换的等价性。 叉积结果的模，平行四边形的面积。 行列式的几何意义，恰好也是线性变换的放大倍数，就用叉积的两个向量当线性变换，计算行列式就等于叉积结果。 当然最后要定向，分正负。 实际上，叉积是一个向量，垂直于底面，模是底面积。叉积可以说是一个代表底面大小和方向的向量。 具体如何计算叉积呢？就是用行列式， 好啦，问题来了，行列式怎么和叉积的几何意义联系起来的呢？还是对偶性。 一个线性变换，可以等价于和对偶向量的点乘。 这是一个输入向量，输出值的函数，行列式计算结果代表平行六面体的体积，很明显这是个线性变换（行列式的特点就是这样）。 根据对偶性，自然有一个1×3的线性变换，进而根据可以变成和3维向量点积，这个三维向量恰好就是我们要的点积。 之所以叉积要用ijk去代替xyz，写成行列式的样子，其实原理就在于此，ijk只是告诉你，算完以后的p是一个向量。 还得从最开始，平行六面体的体积来看。设（x，y，z）向量为a。则V=底面积×高=a在p上的投影×p的模 你要注意，高=a在p上的投影，所以底面积就自然等于p的模了。
如果行列式=0，即r（A）< n，那么正向变换是降维的，也就是说会把空间压缩，但是你要知道，v是没有被压缩的，还是高维的，那么就有两种可能：
如果在降维后，还有解的话，那么v这个位置其实是被压缩了无数个向量的
1个维度，那么从空间上来说，就是沿着一条线把一个三维空间压扁。因此，只压缩一个维度，就会有一条线上的所有向量压缩为0向量，此时只需要1个基底就可以表示所有线性变换前的向量（解）
2个维度呢？从空间来想象，就是沿着一个面的方向，把三维空间收缩成一束，想象一下你用拇指和食指套成一个圈儿，把很多线捏成一束的过程。2个基底去表示这一个面上的解向量了。
非方阵
如果是2×3矩阵呢？代表了把3维空间压缩到2维空间，这个变换是很不舒服的，因为把3个基底放到了2维空间，很明显有一个基底就是冗余的了。
点积
唯一的等价关系。
投影矩阵到底是多少呢？按照线性变换的几何意义，我们只需要找到i，j两个向量在目标直线上的位置，也就是他们的值就行。
叉积
整体的计划如下：
我们到这里只是给出了p的公式，还没有解释为啥p的模就等于底面积。