湖北省赛2022H.Hamster and Multiplication

真是没想到，原来数位dp也能滚动数组优化
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题意很简单，定义
$f(x)=\{\begin{array}{c}x,x<10\\ f({\Pi }_i{x}_i),x\ge 10\end{array}$
求${\Sigma }_{i=1}^{n}f(i)$
先说下我的“错误做法”（思路有点小问题，但其实可以改对）
$f[pos][st][fl][fl2]$代表处理到$pos$位，
当前$\mathrm{2...9}$的数量的状态为$st$（注意到有贡献的数肯定不存在某位是0，且1不影响乘积，其实这里就可以看出我这个定义可以改改），
是否贴着上界$(fl)$，
之前是否全是$0(fl2)$（最开始可以填0是因为位数不一定要和n相同）
$st$的状态隔板法计算一下就是$C_{26}^8=1,562,275$（开始算错了，以为就5w个状态，不然肯定不会这么莽）
由于不知道怎么想的，认为只能从某个状态更新之后的状态，而不能每次用之前状态计算当前状态，所以dfs就不成立了（某个节点更新多次后才是最优的，根本不知道什么时候才能拿来更新别的点），于是我就采用了bfs，在实现时发现会爆内存，采用了滚动数组优化
以下是用当前思路写出来的“错误”代码，极限数据cf需要1.7s

#include
using namespace std;
const int N=500002;
typedef long long ll;
unordered_map<ll,int>mp;
ll f[2][N][2][2],n,ans,v,pw[10];
bool vis[2][N][2][2];
int i,tot[N],cnt,lim,d[20];
struct node{
	int pos;
	ll v;
	bool fl,fl2;
};
inline int calc(ll v){//计算v状态的答案
	ll x=1;
	for (int i=7;~i;v%=pw[i],i--)
		for (int j=0;j<v/pw[i];j++) x*=i+2;
	while (x>=10){
		ll y=1;
		while (x){
			y*=x%10;
			x/=10;
		}
		x=y;
	}
	return x;
}
//pre函数预处理每个状态的映射
inline void pre(ll v,int x,int sum){//x代表当前处理x+2，v[0...7]代表[2...9] 
	if (!mp.count(v)) mp[v]=++cnt,tot[cnt]=calc(v);
	if (x==8 || sum==lim) return;
	pre(v,x+1,sum);
	if (x==3 && (v%pw[1] || v%pw[3]/pw[2])) return;//处理5时不能出现2,4，剪枝
	if (x==4 && v%pw[4]/pw[3]) return;//处理6之前不能出现5
	if (x==6 && v%pw[4]/pw[3]) return;//处理8之前不能出现5
	v+=pw[x];
	pre(v,x,sum+1);
	v-=pw[x];
}
void doit(ll n){
	while (n){
		d[++lim]=n%10;
		n/=10;
	}
}
inline void bfs(int pos,ll v,bool fl,bool fl2){
	queue<node>q;
	q.push({pos,v,fl,fl2});
	int x1=pos&1,x2=x1^1;
	int las=pos;
	while (!q.empty()){
		pos=q.front().pos;
		v=q.front().v;
		fl=q.front().fl;
		fl2=q.front().fl2;
		q.pop();
		if (!pos){
			ans+=f[x2][mp[v]][fl][fl2]*tot[mp[v]];
			continue;
		}
		if (pos==las-1){
			x1^=1,x2^=1;
			memset(f[x2],0,sizeof(f[x2]));
			memset(vis[x2],0,sizeof(vis[x2]));
			las=pos;
		}
		ll t=f[x1][mp[v]][fl][fl2];
		int up=(fl?d[pos]:9);
		for (int i=!fl2;i<=up;i++){
			if (i==5 && (v%pw[1] || v%pw[3]/pw[2])) continue;
			if ((i==6 || i==8) && v%pw[4]/pw[3]) continue;
			if (i>1) v+=pw[i-2];
			int to=mp[v];
			f[x2][to][fl&(i==up)][fl2&(i==0)]+=t;
			if (!vis[x2][to][fl&(i==up)][fl2&(i==0)]){
				q.push({pos-1,v,fl&(i==up),fl2&(i==0)});
				vis[x2][to][fl&(i==up)][fl2&(i==0)]=1;
			}
			if (i>1) v-=pw[i-2];
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	pw[0]=1;
	for (i=1;i<=7;i++) pw[i]=pw[i-1]*18;
	doit(n);
	pre(0,0,0);
	f[lim&1][1][1][1]=1;
	bfs(lim,v,1,1);
	printf("%lld",ans-1);
}

其实在写剪枝的时候，我就发现了另外一个性质：每个数可以用它的因数表示
我当时就试了一个9，拆成两个3，结果爆了，以为是错误的，后来才知道是我这么做的话，3可能有36个，而我当作18在做
其实由这个就可以发现，没必要存储完整的状态，存储所有数位的乘积即可（vp的时候脑抽没想到），状态只有36100个，大大减小了复杂度，代码也更简单：

#include
using namespace std;
const int N=50002;
typedef long long ll;
unordered_map<ll,int>mp;
ll f[2][N][2][2],n,ans,v;
bool vis[2][N][2][2];
int i,tot[N],cnt,lim,d[20];
struct node{
	int pos;
	ll v;
	bool fl,fl2;
};
inline int calc(ll v){
	while (v>=10){
		if (mp.count(v)) return tot[mp[v]];
		ll x=1;
		while (v){
			x*=v%10;
			v/=10;
		}
		v=x;
	}
	return v;
}
inline void bfs(int pos,bool fl,bool fl2){//fl2:之前全0
	queue<node>q;
	ll v;
	q.push({pos,1,fl,fl2});
	int x1=pos&1,x2=x1^1;
	int las=pos; 
	while (!q.empty()){
		pos=q.front().pos;
		v=q.front().v;
		fl=q.front().fl;
		fl2=q.front().fl2;
		q.pop();
		if (!pos){
			ans+=f[x2][mp[v]][fl][fl2]*tot[mp[v]];
			continue;
		}
		if (pos==las-1){
			x1^=1,x2^=1;
			memset(f[x2],0,sizeof(f[x2]));
			memset(vis[x2],0,sizeof(vis[x2]));
			las=pos;
		}
		ll t=f[x1][mp[v]][fl][fl2];
		int up=(fl?d[pos]:9);
		for (int i=!fl2;i<=up;i++){
			if (i) v*=i;
			if (!mp.count(v)) tot[++cnt]=calc(v),mp[v]=cnt;
			int to=mp[v];
			f[x2][to][fl&(i==up)][fl2&(i==0)]+=t;
			if (!vis[x2][to][fl&(i==up)][fl2&(i==0)]){
				q.push({pos-1,v,fl&(i==up),fl2&(i==0)});
				vis[x2][to][fl&(i==up)][fl2&(i==0)]=1;
			}
			if (i) v/=i;
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	while (n){
		d[++lim]=n%10;
		n/=10;
	}
	mp[1]=++cnt,tot[1]=1;
	f[lim&1][1][1][1]=1;
	bfs(lim,1,1);
	printf("%lld",ans-1);
}

我过了以后甚至还想直接状态变成$f(x)$的值，但这样的话两个无关的状态也能转化了，故不可