高等数学：线性代数-第二章

第2章 矩阵及其运算

2.1 线性方程组和矩阵

$\mathbf{n}$ 元线性方程组 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$
当常数项 $b_i$ 不全为零时，称该方程组为n 元非齐次线性方程组，当 $b_i$ 全为零时，称该方程组为n 元齐次线性方程组。

矩阵 由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}$ 排成的 m 行 n 列的数表
$$\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}$$
称为 $m\times n$矩阵，记作
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) \bm{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \\ A= ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​ ​
特别地，当 m = n 时，该矩阵叫做n 阶方阵。

增广矩阵 对于非齐次线性方程组
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$
它的系数矩阵、未知数矩阵和常数项矩阵分别如下：
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}\\ & \mathbf{x}=\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right)\\ & \mathbf{b}=\left(\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& \cdots & b_m\end{array}\right)\end{array}$$
它的增广矩阵定义为
B = ( A b ) = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b m ) \bm{B} = ( \begin{array}{c|c} \bm{A} & \bm{b} \end{array} ) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m} \\ \end{pmatrix} \\ B=(A​b​)= ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​b1​b2​⋮bm​​ ​
对角矩阵 方阵

( λ 1 λ 2 ⋱ λ n ) \begin{pmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \\ \end{pmatrix} \\ ​λ1​​λ2​​⋱​λn​​ ​
叫做对角矩阵，简称对角阵，记作 $\mathrm{diag}(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& {\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_n\end{array})$ .

单位矩阵 对角矩阵 $\mathrm{diag}(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\end{array})$ 叫做 n 阶单位矩阵，简称单位阵，记作 ${\mathbf{E}}_n$ .

2.2 矩阵的运算

矩阵加法
A + B = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) + ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b m 1 b m 2 ⋯ b m n ) = ( a 11 + b 11 a 12 + b 12 ⋯ a 1 n + b 1 n a 21 + b 21 a 22 + b 22 ⋯ a 2 n + b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 + b m 1 a m 2 + b m 2 ⋯ a m n + b m n ) \begin{align} \bm{A} + \bm{B} &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\ \end{pmatrix} \\ \end{align} \\ A+B​= ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​ ​+ ​b11​b21​⋮bm1​​b12​b22​⋮bm2​​⋯⋯⋱⋯​b1n​b2n​⋮bmn​​ ​= ​a11​+b11​a21​+b21​⋮am1​+bm1​​a12​+b12​a22​+b22​⋮am2​+bm2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​+b1n​a2n​+b2n​⋮amn​+bmn​​ ​​​
矩阵加法满足：
$$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})$$
矩阵数乘
c A = c ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) = ( c a 11 c a 12 ⋯ c a 1 n c a 21 c a 22 ⋯ c a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c a m 1 c a m 2 ⋯ c a m n ) \begin{align} c\bm{A} &= c \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} ca_{11} & ca_{12} & \cdots & ca_{1n} \\ ca_{21} & ca_{22} & \cdots & ca_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ca_{m1} & ca_{m2} & \cdots & ca_{mn} \\ \end{pmatrix} \\ \end{align} \\ cA​=c ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​ ​= ​ca11​ca21​⋮cam1​​ca12​ca22​⋮cam2​​⋯⋯⋱⋯​ca1n​ca2n​⋮camn​​ ​​​
矩阵数乘满足：
$$c\mathbf{A}=\mathbf{A}c(\lambda \mu )\mathbf{A}=\lambda (\mu \mathbf{A})(\lambda +\mu )\mathbf{A}=\lambda \mathbf{A}+\mu \mathbf{A}\lambda (\mathbf{A}+\mathbf{B})=\lambda \mathbf{A}+\lambda \mathbf{B}$$
矩阵乘法 对于 $m\times s$矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $s\times n$矩阵 $\mathbf{B}$ ，它们的乘法定义为 $\mathbf{C}=\mathbf{A}\mathbf{B}=(c_{ij}{)}_{m\times n}$ ，且满足
$$c_{ij}=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}(i\in \mathbb{Z}\le m,j\in \mathbb{Z}\le n)$$
矩阵乘法满足：
$$(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})c(\mathbf{A}\mathbf{B})=(c\mathbf{A})\mathbf{B}=\mathbf{A}(c\mathbf{B})\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{A}\mathbf{C}(\mathbf{B}+\mathbf{C})\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{A}+\mathbf{C}\mathbf{A}$$
需要注意的是，
$$\mathbf{A}\mathbf{B}\ne \mathbf{B}\mathbf{A}(\mathbf{B}\ne \mathbf{E}).$$
矩阵转置 矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$的转置矩阵记作 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ ，且满足
$${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=(a_{ji}{)}_{n\times m}$$
矩阵转置满足：
$$({\mathbf{A}}^T{)}^T=\mathbf{A}(\mathbf{A}+\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}(\lambda \mathbf{A}{)}^{\mathrm{T}}=\lambda {\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$$
方阵的行列式 由 n 阶方阵 $\mathbf{A}$的元素所构成的行列式，称为方阵 $A$ 的行列式，记作 $\det \mathbf{A}$或 $|\mathbf{A}|$

方阵的行列式满足：
$$|{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}|=|\mathbf{A}||\lambda \mathbf{A}|={\lambda }^n|\mathbf{A}|$$
其中 n 为矩阵 $\mathbf{A}$的阶数
$$|A\mathbf{B}|=|A||\mathbf{B}|$$

2.3 逆矩阵

伴随矩阵 行列式 | \bm{A} | 的各个元素的代数余子式 A_{ij} 所构成的如下的矩阵
A ∗ = ( A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ) \bm{A}^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \\ \end{pmatrix} \\ A∗= ​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋱⋯​An1​An2​⋮Ann​​ ​
称为矩阵 $\mathbf{A}$的伴随矩阵，简称伴随阵，记作 ${\mathbf{A}}^{\ast }$

矩阵 $\mathbf{A}$和它的伴随矩阵 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 满足
$$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }={\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$$
逆矩阵 对于 n 阶矩阵 $\mathbf{A}$，如果有一个 n 阶矩阵 $\mathbf{B}$ ，使得
$$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$$
则说矩阵 $\mathbf{A}$是可逆的，并把矩阵 $\mathbf{B}$称为矩阵 $\mathbf{A}$的逆矩阵，简称逆阵，记作 ${\mathbf{A}}^{-1}$.

如果矩阵 $\mathbf{A}$是可逆的，那么 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵是惟一的。

矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆的充分必要条件是 $|\mathbf{A}|\ne 0$ 。若$|\mathbf{A}|\ne 0$，则
$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }$$
逆矩阵满足：
$$({\mathbf{A}}^{-1}{)}^{-1}=\mathbf{A}(\lambda \mathbf{A}{)}^{-1}={\lambda }^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$$
若 $\mathbf{A}$、 $\mathbf{B}$ 为同阶矩阵且均可逆，则
$$(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$$
奇异矩阵 不可逆矩阵叫做奇异矩阵。

非奇异矩阵 可逆矩阵叫做非奇异矩阵。

2.4 Cramer法则

Cramer法则 如果线性方程组
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots =b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots =b_2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots =b_n\end{array}$$
的系数矩阵 A 的行列式不等于零，即
∣ A ∣ = ∣ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ∣ ≠ 0 \left\lvert A \right\rvert = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \ne 0 \\ ∣A∣= ​a11​⋮an1​​⋯⋯​a1n​⋮ann​​ ​=0
则该方程组有惟一解
$$x_i=\frac{\left|A_i\right|}{\left|A\right|}$$
其中
A i = ( a 11 ⋯ a 1 , i − 1 b 1 a 1 , i + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n , i − 1 b n a n , i + 1 ⋯ a n n ) A_{i} = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1, i - 1} & b_{1} & a_{1, i + 1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n, i - 1} & b_{n} & a_{n, i + 1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \\ Ai​= ​a11​⋮an1​​⋯⋯​a1,i−1​⋮an,i−1​​b1​⋮bn​​a1,i+1​⋮an,i+1​​⋯⋯​a1n​⋮ann​​ ​