运用谱分解定理反求实对称矩阵

谱分解定理

设三阶实对称矩阵 $A$，若矩阵 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$，对应的特征向量分别为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 且两两正交，则 $A={\lambda }_1{\alpha }_1{\alpha }_1^{\mathrm{T}}+{\lambda }_2{\alpha }_2{\alpha }_2^{\mathrm{T}}+{\lambda }_3{\alpha }_3{\alpha }_3^{\mathrm{T}}$。

【注 1】在考研范围内，只适用于实对称矩阵。
【注 2】特征向量必须两两正交！

证明：三阶实对称矩阵 $A$ 可相似对角化，存在正交矩阵 $Q=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，使得 Q T A Q = Λ = [ λ 1 λ 2 λ 3 ] Q^{\mathrm{T}}AQ = \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix} QTAQ=Λ= ​λ1​​λ2​​λ3​​ ​。

所以有： A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) [ λ 1 λ 2 λ 3 ] [ α 1 T α 2 T α 3 T ] = λ 1 α 1 α 1 T + λ 2 α 2 α 2 T + λ 3 α 3 α 3 T A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1^{\mathrm{T}} \\ \alpha_2^{\mathrm{T}} \\ \alpha_3^{\mathrm{T}} \end{bmatrix} = \lambda_1 \alpha_1 \alpha_1^{\mathrm{T}} + \lambda_2 \alpha_2 \alpha_2^{\mathrm{T}} + \lambda_3 \alpha_3 \alpha_3^{\mathrm{T}} A=(α1​,α2​,α3​) ​λ1​​λ2​​λ3​​ ​ ​α1T​α2T​α3T​​ ​=λ1​α1​α1T​+λ2​α2​α2T​+λ3​α3​α3T​。

定理的运用

什么时候运用谱分解定理最方便？

（1）当特征值出现 $0$ 时，运用定理可减少计算量（参见解法一）；

（2）当特征值出现二重根 $k$ 时，可先运用定理计算出具体的 $A-kE$，再算出实对称矩阵 $A$（参见解法二）；

（3）运用该定理甚至不需要求出所有的特征向量！

【例】设 $3$ 阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 $2$，${\lambda }_1={\lambda }_2=6$ 是 $A$ 的二重特征值，若 ${\alpha }_1=(1,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\alpha }_2=(2,1,1{)}^{\mathrm{T}},{\alpha }_3=(-1,2,-3{)}^{\mathrm{T}}$，都是 $A$ 属于特征值 $6$ 的特征向量，求矩阵 $A$。

【解法一】由 $r(A)=2$ 可得特征值 ${\lambda }_1={\lambda }_2=6,{\lambda }_3=0$，将 ${\alpha }_1=(1,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\alpha }_2=(2,1,1{)}^{\mathrm{T}}$ 进行单位正交化得：${\xi }_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\xi }_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2{)}^{\mathrm{T}}$。

运用谱分解定理：

A = λ 1 ξ 1 ξ 1 T + λ 2 ξ 2 ξ 2 T = 3 ξ 1 ξ 1 T + ξ 2 ξ 2 T = 3 [ 1 1 0 ] ( 1 , 1 , 0 ) + [ 1 − 1 2 ] ( 1 , − 1 , 2 ) = [ 4 2 2 2 4 − 2 2 − 2 4 ] \begin{aligned} A &= \lambda_1 \xi_1 \xi_1^{\mathrm{T}} + \lambda_2 \xi_2 \xi_2^{\mathrm{T}} \\ &= 3 \xi_1 \xi_1^{\mathrm{T}} + \xi_2 \xi_2^{\mathrm{T}} \\ &= 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} (1,1,0) + \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} (1,-1,2) \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned} A​=λ1​ξ1​ξ1T​+λ2​ξ2​ξ2T​=3ξ1​ξ1T​+ξ2​ξ2T​=3 ​110​ ​(1,1,0)+ ​1−12​ ​(1,−1,2)= ​422​24−2​2−24​ ​​

【解法二】先求出 $A$ 的另一特征值和对应的特征向量 ${\lambda }_3=0,{\alpha }_3=(-1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$，进行单位正交化：${\xi }_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$。

由于 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=6,{\lambda }_3=0$，所以 $A-6E$ 的特征值为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=0,{\lambda }_3=-6$，注意到其对应的特征向量仍然不变，因此可以先求出 $A-6E$，运用谱分解定理：

A − 6 E = λ 3 ξ 3 ξ 3 T = − 2 [ − 1 1 1 ] ( − 1 , 1 , 1 ) = [ − 2 2 2 2 − 2 − 2 2 − 2 − 2 ] \begin{aligned} A-6E &= \lambda_3 \xi_3 \xi_3^{\mathrm{T}} \\ &= -2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} (-1,1,1) \\ &= \begin{bmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & -2 \end{bmatrix} \end{aligned} A−6E​=λ3​ξ3​ξ3T​=−2 ​−111​ ​(−1,1,1)= ​−222​2−2−2​2−2−2​ ​​

所以有：

A = ( A − 6 E ) + 6 E = [ − 2 2 2 2 − 2 − 2 2 − 2 − 2 ] + [ 6 6 6 ] = [ 4 2 2 2 4 − 2 2 − 2 4 ] \begin{aligned} A &= (A-6E) + 6E \\ &= \begin{bmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & & \\ & 6 & \\ & & 6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned} A​=(A−6E)+6E= ​−222​2−2−2​2−2−2​ ​+ ​6​6​6​ ​= ​422​24−2​2−24​ ​​