二叉树的顺序结构及实现(堆、Top-k)

文章目录

1 二叉树的顺序结构

2 堆的概念及结构

3 堆的实现

4 堆的应用

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文章内容

1 二叉树的顺序结构

       普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

2 堆的概念及结构

 堆的性质：

• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
• 堆总是一棵完全二叉树。        

•  小根堆父亲节点的值比孩子节点的值都小
•  大根堆父亲节点的值比孩子结点的值都大

   把数组看成一个二叉树，大概就是这样：

其父亲节点和孩子节点的关系大概如下(这对于堆的实现很重要，向上调整算法，向下调整算法都需要搞清楚下标)： 

3 堆的实现

3.1基本接口

 3.2堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

堆的逻辑结构是二叉树，物理结构是一块连续存储的内存，所以可以直接用下标进行访问。

进行向上调整算法和核心就是确定好父亲和孩子的下标，以及循环的终止条件。 

向上调整算法：

用一组数据插入测试 

 

监视窗口：

完全符合二叉树： 

 3.3堆的删除

   删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

需要注意的是 ：

     第一，为什么不能将a(指针)指向下一个元素，这样简单又快捷？数组是malloc开辟的，这样会造成内存泄露。第二，如果用memmove 覆盖掉第一个元素，后面元素的逻辑顺序将会被打乱，进而使我们建的堆丧失意义。

所以说最好的方式是将首元素和尾元素调换顺序，然后用向下调整算法来调整逻辑上的位置。

向下调整算法，根节点的左子树和右子树逻辑上都要符合大\小跟堆。

 3.4堆的其余操作

4 堆的应用

4.1 堆的创建

       我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

int a[] = {1,5,3,8,7,6};

 4.2 建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

向下调整算法时间复杂度：

 所以根据以上分析建堆要用向上调整算法。

4.3堆排序问题

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆

    升序：建大堆
    降序：建小堆

为什么升序不建立小堆建立大堆？

    建立小堆，我们拿出这根节点，此时这块数组逻辑上的顺序便会被打乱，父子节点，兄弟节点的关系全部乱掉，等于这次堆白建立了，下次想要从中选出最小的数据，必须要从新建堆，这样没有用到堆排序的优势，又使时间复杂度变得很大。

建立大堆为什么就能行呢？

        大堆根 根节点是最大的 将根节点与数组最后一个元素交换，此时数组中最大的元素在数组的最后，然后堆元素的数量减一，把这个元素排除在堆外，此时根节点的左子树右子树，符合大堆的逻辑结构，然后开始向下调整，找出堆中最大的元素发到根节点的位置，重复以上操作。

 降序减小堆也是同样的道理。

4.4 TOP-K问题

  TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

  比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

  对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

  1. 用数据集合中前K个元素来建堆

• 前k个最大的元素，则建小堆
• 前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

    将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

时间复杂度：

 k为建堆的时间复杂度，后面哪一项是（n-k）个元素 * 堆的高度 ，也是其时间复杂度。

从一万个数字中选取前十个最大的数字。

void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
	int* KMinHeap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);


	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		KMinHeap[i] = a[i];
	}

	for (int i = (k - 2) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(KMinHeap, k, i);
	}

	for (int j = k; j < n; j++)
	{
		if (KMinHeap[0] < a[j])
		{
			KMinHeap[0] = a[j];
			AdjustDown(KMinHeap, k, 0);
		}
	}

	for (int i = 0; i < k; ++i)
	{
		printf("%d ", KMinHeap[i]);
	}
	printf("\n");
}

void TestTopk()
{
	int n = 10000;
	int* a = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
	srand(time(0));
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		a[i] = rand() % 1000000;
	}
	a[5] = 1000000 + 1;
	a[1231] = 1000000 + 2;
	a[531] = 1000000 + 3;
	a[5121] = 1000000 + 4;
	a[120] = 1000000 + 5;
	a[99] = 1000000 + 6;
	a[0] = 1000000 + 7;
	a[76] = 1000000 + 8;
	a[423] = 1000000 + 9;
	a[3144] = 1000000 + 10;
	PrintTopK(a, n, 10);
}

int main()
{
	TestTopk();
	return 0;
}